Um engenheiro precisa projetar um reator químico (ou tanque de armazenamento gasoso) de formato cilíndrico. Este reator deve ter um volume V fixo, mas o engenheiro químico quer construí-lo usando a menor quantidade de material possível para minimizar o custo de capital (CAPEX), pois o aço inox é um material de alto valor agregado.
Assumindo que o custo do material é diretamente proporcional à área de superfície total do cilindro, minimize a área de superfície de um cilindro, mantendo seu volume de 300 \mathrm{~m}^{3} constante.
Obs: Use os métodos ensinados na disciplina.
A) Monte um problema de otimização.
B) Monte e simule em Scilab o problema de otimização. Dica: para as estimativas iniciais use 10.

Passo 1

O enunciado pede que a gente projete um cilindro de volume fixo V=300\\ \mathrm{m}^3 usando a menor quantidade de material possível. Isso significa que precisamos:
  • Identificar qual é a grandeza a minimizar (o custo é proporcional à área de superfície total do cilindro).
  • Usar a informação dada: o volume do cilindro é V=300\\ \mathrm{m}^3.
  • Encontrar as dimensões do cilindro (raio r e altura h) que minimizam essa área, respeitando o volume fixo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume fixo: V=300\\ \mathrm{m}^3.
  • Formato do reator: cilindro circular reto, presumido com tampas (ou seja, superfície total = tampas + lateral).
  • Desejo: minimizar área de superfície total.
A partir daqui vamos montar o problema matematicamente e resolver passo a passo.

Passo 2

Definimos as variáveis e escrevemos as fórmulas básicas (aquelas que você deve ter decoradas ou saber deduzir rápido na prova):
  • Raio do cilindro: r>0 (em metros).
  • Altura do cilindro: h>0 (em metros).
  • Volume do cilindro (fórmula conhecida):
V=\pi r^{2} h.
Aqui \pi é a constante geométrica (aprox. 3,14159), r^{2} significa r ao quadrado e h é a altura.
  • Área de superfície total de um cilindro fechado (duas tampas + lateral):
S(r,h)=2\pi r^{2}+2\pi r h.
Explicando: 2\pi r^{2} é a área das duas bases (cada base tem área \pi r^{2}), e 2\pi r h é a área lateral (circunferência 2\pi r vezes altura h).
Nosso objetivo: minimizar S(r,h) sujeitando-se à restrição de volume \pi r^{2} h=V com V=300.

Passo 3

Para transformar o problema com restrição num problema de uma única variável (mais simples), usamos a restrição para eliminar h. Da igualdade do volume:
h=\frac{V}{\pi r^{2}}.
Substituímos isso na expressão da área para obter uma função de r apenas:
S(r)=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}.
Simplificando a segunda parcela (observe \pi se cancela):
S(r)=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}.
Agora temos um problema de minimização unconstrained em uma variável positiva: minimizar S(r) para r>0.

Passo 4

Método para encontrar mínimo: cálculo de derivadas (método padrão e ensinado nas disciplinas básicas). A ideia é:
  • Calcular a derivada S'(r).
  • Encontrar pontos críticos com S'(r)=0.
  • Verificar que é mínimo (segunda derivada positiva no ponto crítico).
Derivando S(r) com respeito a r:
S(r)=2\pi r^{2}+2V r^{-1}.
Derivada termo a termo:
S'(r)=4\pi r -2V r^{-2}.
Explicando: derivada de 2\pi r^{2} é 4\pi r; derivada de 2V r^{-1} é 2V\cdot(-1) r^{-2} = -2V r^{-2}.

Passo 5

Encontre os pontos críticos impondo S'(r)=0:
4\pi r - 2V r^{-2}=0.
Multiplicamos ambos os lados por r^{2} (válido pois r>0):
4\pi r^{3}-2V=0.
Isolando r^{3}:
r^{3}=\frac{2V}{4\pi}=\frac{V}{2\pi}.
Portanto:
r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}.

Passo 6

Verificação de mínimo (teste da segunda derivada):
Calcule S''(r). A partir de S'(r)=4\pi r -2V r^{-2}:
S''(r)=4\pi +4V r^{-3}.
Explicação: derivada de 4\pi r é 4\pi; derivada de -2V r^{-2} é -2V\cdot(-2) r^{-3}=4V r^{-3}. Como r>0 e V>0, temos S''(r)>0 para todo r>0. Logo o ponto crítico encontrado é mínimo global na região r>0. Bom sinal!

Passo 7

Relação simples entre h e r no ponto ótimo (resultado elegante que sempre cai bem na prova):
Tomamos a expressão de h usando r ótimo:
h=\frac{V}{\pi r^{2}}.
Substituindo r^{3}=V/(2\pi), obtemos
h=\frac{V}{\pi}\cdot\frac{1}{r^{2}}=\frac{V}{\pi}\cdot\frac{1}{\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}}.
Fazendo álgebra (mostro a simplificação):
h=V^{1-2/3}\cdot(2\pi)^{2/3}\cdot\pi^{-1}=V^{1/3}\cdot2^{2/3}\pi^{-1/3}.
Mas é mais fácil ver uma forma intuitiva: usando r^{3}=V/(2\pi) e manipulando, chega-se a
h=2r.
Ou seja, a altura ótima é igual ao diâmetro do cilindro (altura igual ao dobro do raio). Esse é um resultado clássico e útil de decorar: cilindro de menor área para dado volume fechado tem h=2r.

Passo 8

Agora calculamos valores numéricos para V=300\\ \mathrm{m}^3. Usando a fórmula do raio ótimo:
r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{300}{2\pi}\right)^{1/3}.
Fazendo as contas (aproximações aritméticas; na prova você pode justificar o uso de uma calculadora, mas aqui eu mostro o valor aproximado):
r\approx 3,626\\ \mathrm{m}.
Como h=2r,
h\approx 7,252\\ \mathrm{m}.
Cálculo da área mínima, usando S_{\min}=2\pi r^{2}+2\pi r h. Com h=2r simplifica para:
S_{\min}=6\pi r^{2}.
Substituindo r obtido:
S_{\min}\approx 247,8\\ \mathrm{m}^{2}.
(Os valores foram arredondados em três casas decimais; use mais casas se quiser maior precisão.)

Passo 9

Agora a parte prática: montar e rodar a simulação em Scilab para confirmar numericamente (dica do enunciado: chute inicial = 10). Vou dar um código simples que usa uma rotina de minimização local (fminsearch). Copie e cole no console do Scilab ou em um arquivo .sce e execute.
Código Scilab (cole no Scilab exatamente como está):
/* Minimização da área de um cilindro dado V usando fminsearch */
V = 300;                // volume em m^3
function S = area_r(r)
    // r vem como vetor em fminsearch, garante que usamos r(1)
    rr = r(1);
    if rr <= 0 then
        S = 1e12; // penalidade para r não positiva
        return
    end
    S = 2*%pi*rr^2 + 2*V/rr;
endfunction

r0 = 10; // chute inicial conforme dica
[r_opt, fval, info] = fminsearch(area_r, r0);

// Se fminsearch devolver r_opt como vetor, pegamos componente 1
if sizeof(r_opt, '*') > 1 then
    r_opt = r_opt(1);
end

h_opt = V/(%pi*r_opt^2);
S_opt = 2*%pi*r_opt^2 + 2*V/r_opt;

disp("Resultado da otimização (Scilab):");
disp("r_opt (m) = " + string(r_opt));
disp("h_opt (m) = " + string(h_opt));
disp("S_opt (m2) = " + string(S_opt));
disp("fminsearch info = " + string(info)); // info = 1 => sucesso normalmente
Explicações do código:
  • Definimos uma função anônima area_r que retorna S(r). Colocamos uma penalidade grande quando r\le 0 para evitar regiões inválidas.
  • Usamos fminsearch com chute inicial r0 = 10.
  • Calculamos a altura a partir do volume e mostramos os resultados.

Passo 10

O que você deve observar ao rodar:
  • O algoritmo deve convergir para um valor de r próximo de 3,626. Com esse r a saída deverá ser algo parecido com:
    • r\_opt \approx 3,626\\ \mathrm{m}
    • h\_opt \approx 7,252\\ \mathrm{m}
    • S\_opt \approx 247,8\\ \mathrm{m}^2
  • Isso confirma a solução analítica e o resultado prático do código.
Agora fica tranquilo: você tem a formulação, a dedução teórica passo a passo, e o código em Scilab para rodar com chute inicial 10 e confirmar numericamente.

Resposta

A) Problema: minimizar \displaystyle S(r)=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r} para r>0 com V=300, sujeito a \pi r^{2}h=V (onde h=\dfrac{V}{\pi r^{2}}).
B) Resultado (Scilab / analítico): r\approx 3,626\\ \mathrm{m}, h\approx 7,252\\ \mathrm{m}, área mínima S_{\min}\approx 247,8\\ \mathrm{m}^{2}.

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