Encontrando as n-ésimas somas parciais
Encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
1-2+4-8-\cdots-(-1)^{n-1} 2^{n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a n-ésima soma parcial
S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}2^{k-1}
e a soma da série
\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}2^{k-1}. O conteúdo aqui é soma de progressão geométrica.

Passo 2

Note que o termo geral é
a_k = (-1)^{k-1}2^{k-1},
logo trata-se de uma progressão geométrica com primeiro termo a_1=1 e razão r=-2.

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma finita de uma PG,
S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r},
substituindo a_1=1 e r=-2, vem
S_n = \frac{1 - (-2)^n}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^n}{3}.

Passo 4

Para a convergência da série infinita é preciso |r|<1. Aqui |r|=2>1, logo \lim_{n\to\infty}(-2)^n não existe em valor finito e os termos não vão a zero. A série diverge.

Resposta

S_n = \frac{1 - (-2)^n}{3},
e a série diverge.

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