L. Questão 4.
(1, 0 ponto) Uma proteína com massa m gramas se desintegra em aminoácidos a uma taxa dada por

\frac{d m}{d t}=\frac{-2}{t+1} \mathrm{~g} / \mathrm{h} .
Se m(0)=10 g é a massa inicial da proteína, quantas gramas de proteína existe depois de 2 horas?

Passo 1

O enunciado nos dá a massa m(t) de uma proteína que decai segundo a equação diferencial
\frac{dm}{dt} = -\frac{2}{t+1},
com condição inicial m(0)=10\\ \text{g}.
Conteúdo: integração de equações diferenciais elementares (integração direta).

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int dm = \int -\frac{2}{t+1}\,dt.
O lado esquerdo vira m(t) e o direito gera
m(t) = -2\ln(t+1) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição m(0)=10 para achar C:
10 = -2\ln(0+1) + C \quad\Longrightarrow\quad 10 = -2\cdot0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 10.
Logo
m(t) = 10 - 2\ln(t+1).

Passo 4

Para t=2 horas, temos
m(2) = 10 - 2\ln(2+1) = 10 - 2\ln(3).
Aproximando \ln(3)\approx1,10,
m(2)\approx 10 - 2\cdot1,10 = 10 - 2,20 = 7,80\\ \text{g}.

Resposta

m(2) = 10 - 2\ln(3)\approx7,80\\ \text{g}.

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