\int_{0}^{\pi / 6}\left(\operatorname{sen}^{4}(2 x)\right)(\cos (2 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/6}\bigl(\operatorname{sen}^{4}(2x)\bigr)\,\cos(2x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição em integrais, pois vemos \operatorname{sen}(2x) elevado a uma potência e seu derivado \cos(2x) no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(2x),
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du = 2\,\cos(2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(2x)\,dx = \frac{du}{2}.
Também trocamos os limites de integração:
quando x=0, u=\operatorname{sen}(0)=0;
quando x=\pi/6, u=\operatorname{sen}(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{\pi/6}\operatorname{sen}^{4}(2x)\,\cos(2x)\,dx = \int_{0}^{\sqrt{3}/2}u^{4}\,\frac{du}{2} = \frac12\int_{0}^{\sqrt{3}/2}u^{4}\,du.

Passo 4

Calculamos a integral em u:
\frac12\int_{0}^{\sqrt{3}/2}u^{4}\,du = \frac12\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{10}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{5}.

Passo 5

Bast a simplificar \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{5}:
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{5} = \frac{(\sqrt{3})^{5}}{2^{5}} = \frac{3^{5/2}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{32}.
Portanto, o valor da integral é
\frac{1}{10}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{320}.

Resposta

\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{320}

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