Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
x=1 / 2 \quad x=\sqrt{y} \quad e \quad y=-x+2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas x = \tfrac12, x = \sqrt{y} (ou seja, y = x^2)
e y = -x + 2.
O método mais direto é usar integração em x, encontrando os pontos de interseção e integrando a diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção:
— Entre a parábola y = x^2 e a reta y = -x + 2:
x^2 = -x + 2
x^2 + x - 2 = 0
As raízes são x = 1 e x = -2. Como estamos em x\ge0, usamos x=1, então o ponto é (1,1).
— Entre a reta vertical x = \tfrac12 e a parábola y = x^2:
y = \bigl(\tfrac12\bigr)^2 = \tfrac14,
ou seja, \bigl(\tfrac12,\tfrac14\bigr).
— Entre x = \tfrac12 e a reta y = -x + 2:
y = -\tfrac12 + 2 = \tfrac32,
ou seja, \bigl(\tfrac12,\tfrac32\bigr).

Passo 3

A região é delimitada à esquerda por x=\tfrac12, à direita pela parábola x=\sqrt{y} até o ponto (1,1), acima pela reta y=-x+2 e abaixo pela parábola y=x^2.
Em termos de x, isso significa
\tfrac12 \le x \le 1,
e para cada x o y varia de y_{\text{inf}} = x^2 até y_{\text{sup}} = -x + 2.

Passo 4

Logo, a área vale
A = \int_{\tfrac12}^{1} \bigl[(-x+2) - x^2\bigr]\,dx = \int_{\tfrac12}^{1} (2 - x - x^2)\,dx.
O antiderivado é
2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}.
Avaliando de x=\tfrac12 até x=1, temos
A = \Bigl(2 - \tfrac12 - \tfrac13\Bigr) \;-\;\Bigl(1 - \tfrac18 - \tfrac{1}{24}\Bigr) = \frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{1}{3}.

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