Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
,
(ou seja,
)
e .
O método mais direto é usar integração em , encontrando os pontos de interseção e integrando a diferença entre a curva superior e a inferior.
e
O método mais direto é usar integração em
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção:
— Entre a parábola e a reta
:
— Entre a parábola
As raízes são
e
. Como estamos em
, usamos
, então o ponto é
.
— Entre a reta vertical
e a parábola
:
ou seja,
.
— Entre
e a reta
:
ou seja,
.
Passo 3
A região é delimitada à esquerda por
, à direita pela parábola
até o ponto
, acima pela reta
e abaixo pela parábola
.
Em termos de , isso significa
Em termos de
e para cada
o
varia de
até
.
Passo 4
Logo, a área vale
O antiderivado é
Avaliando de
até
, temos
Resposta
A área da região é