Encontrar o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos t \\\ y=r \sin t\end{array} \quad t \in[0,2 \pi]\right..

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva dada pela parametrização
\begin{cases} x(t)=r\cos t,\\\ y(t)=r\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi].
Este é um círculo de raio r. Para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica, usamos a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
x'(t) = -r\sin t, \quad y'(t) = r\cos t.
Então
\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2} = r^{2}\sin^{2}t + r^{2}\cos^{2}t = r^{2}.
Logo, a velocidade é
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}} = \sqrt{r^{2}} = r,
assumindo r\ge0.

Passo 3

Substituindo na integral do comprimento:
L = \int_{0}^{2\pi} r\;dt = r\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi r.

Resposta

2\pi r

Exercícios relacionados