Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
\sum_{n=1} \frac{1}{n}

Passo 1

Enunciado claro: verificar se a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
é convergente ou divergente. Informações dadas e importantes:
  • O termo geral da série é a_n=\frac{1}{n}.
  • Todos os termos são positivos ( a_n>0 para todo n\ge1).
  • \lim_{n\to\infty} a_n = 0 (isto é necessário para convergência, mas não garante convergência).
    A pergunta que vamos responder: a série \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} converge ou diverge?

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (também explicarei um argumento por agrupamento como complemento). Motivo da escolha: o termo geral \frac{1}{n} é o valor em inteiros de uma função simples f(x)=\frac{1}{x} que é positiva, contínua e decrescente para x\ge1; o Teste da Integral é direto e padrão para esse caso. O método é básico e fácil de aplicar sem cálculo pesado.

Passo 3

Enunciado do Teste da Integral (explicado de forma didática): seja f(x) uma função tal que
  • f é contínua em [1,\infty),
  • f(x)>0 para x\ge1,
  • f é decrescente em [1,\infty),
    e defina a_n=f(n). Então a série \sum_{n=1}^\infty a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_1^\infty f(x)\,dx convergir (ou seja, for finita). Intuição rápida: a soma dos retângulos de base 1 e altura f(n) é comparável à área sob a curva y=f(x); se a área é infinita, os retângulos também acumulam área infinita.

Passo 4

Verificação das hipóteses do teste para f(x)=\frac{1}{x}:
  • Continuidade: f(x)=\frac{1}{x} é contínua em [1,\infty) (não há problema em x=0 porque começamos em 1).
  • Positividade: f(x)>0 para todo x\ge1.
  • Monotonia decrescente: calculamos a derivada
f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2},
que é negativa para x\ge1. Logo f é decrescente em [1,\infty).
Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 5

Aplicação do Teste da Integral: calcular a integral imprópria
\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx.
Fazemos a definição como limite:
\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_1^t \frac{1}{x}\,dx.
A primitiva de \frac{1}{x} é \ln x. Então
\int_1^t \frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^t = \ln t - \ln 1 = \ln t.
Tomando o limite,
\lim_{t\to\infty} \ln t = +\infty.
Portanto a integral diverge.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Integral: como \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx = \infty, pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
também diverge.

Passo 7

Complemento útil para a prova (argumento por agrupamento, clássico e fácil de lembrar na prova): escrevemos a soma agrupando termos em blocos de tamanho que dobra a cada passo:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots.
Observe que no bloco k-ésimo (começando em k=1) há 2^{k-1} termos e cada termo desse bloco é maior ou igual a \frac{1}{2^k}. Assim a soma de cada bloco é pelo menos
2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}.
Portanto os somatórios parciais crescem por somar infinitos blocos cada um com contribuição \ge\frac{1}{2}, o que implica que a soma total diverge para +\infty. Este argumento mostra de forma elementar que a série não pode convergir.

Resposta

Divergente

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