Verifique, por meio de algum dos testes de comparação, se cada série dada a seguir é convergente ou divergente.
Passo 1
Enunciado claro: verificar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e importantes:
- O termo geral da série é
. - Todos os termos são positivos (
para todo ). -
(isto é necessário para convergência, mas não garante convergência).
A pergunta que vamos responder: a sérieconverge ou diverge?
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (também explicarei um argumento por agrupamento como complemento). Motivo da escolha: o termo geral
é o valor em inteiros de uma função simples
que é positiva, contínua e decrescente para
; o Teste da Integral é direto e padrão para esse caso. O método é básico e fácil de aplicar sem cálculo pesado.
Passo 3
Enunciado do Teste da Integral (explicado de forma didática): seja
uma função tal que
-
é contínua em , -
para , -
é decrescente em ,
e defina. Então a série converge se, e somente se, a integral imprópria convergir (ou seja, for finita). Intuição rápida: a soma dos retângulos de base 1 e altura é comparável à área sob a curva ; se a área é infinita, os retângulos também acumulam área infinita.
Passo 4
Verificação das hipóteses do teste para
:
- Continuidade:
é contínua em (não há problema em porque começamos em ). - Positividade:
para todo . - Monotonia decrescente: calculamos a derivada
que é negativa para
. Logo
é decrescente em
.
Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 5
Aplicação do Teste da Integral: calcular a integral imprópria
Fazemos a definição como limite:
A primitiva de
é
. Então
Tomando o limite,
Portanto a integral diverge.
Passo 6
Conclusão pelo Teste da Integral: como
, pelo Teste da Integral a série
também diverge.
Passo 7
Complemento útil para a prova (argumento por agrupamento, clássico e fácil de lembrar na prova): escrevemos a soma agrupando termos em blocos de tamanho que dobra a cada passo:
Observe que no bloco
-ésimo (começando em
) há
termos e cada termo desse bloco é maior ou igual a
. Assim a soma de cada bloco é pelo menos
Portanto os somatórios parciais crescem por somar infinitos blocos cada um com contribuição
, o que implica que a soma total diverge para
. Este argumento mostra de forma elementar que a série não pode convergir.
Resposta
Divergente