Encontrar a área da região limitada do plano xOy, delimitada pelos gráficos das curvas abaixo:
y=x^3-x, y=sen(pi x), x=-1 e x=1.
(R. 8+pi2 pi )

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano xOy limitada pelas curvas
y = x^3 - x, y = sin(pi x), x = -1, x = 1
O conteúdo é integração de área entre curvas, e vamos precisar determinar onde uma função fica acima da outra e então calcular integrais definidas.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção de y = x^3 - x e y = sin(pi x) em [-1,1]. Resolvendo
x^3 - x = sin(pi x),
vemos imediatamente que em x=-1,0,1 ambos valem zero:
(-1)^3 -(-1)= -1+1=0,;sin(-pi)=0; 0^3-0=0,;sin(0)=0; 1^3-1=0,;sin(pi)=0
Não há outras raízes nesse intervalo.

Passo 3

Para saber qual curva está por cima em cada subintervalo, testamos um ponto em (-1,0) e em (0,1):
  • Em x=-0.5: x^3 - x = -0.125+0.5=0.375 e sin(-0.5pi)=-1. Logo x^3-x>sin(pi x).
  • Em x=0.5: x^3 - x = 0.125-0.5=-0.375 e sin(0.5pi)=1. Logo sin(pi x)>x^3-x.
Portanto a área é
A =integral-1^0l[(x^3 - x)-sin(pi x)r],dx +integral0^1l[sin(pi x)-(x^3 - x)r],dx

Passo 4

Observamos que as funções x^3 - x e sin(pi x) são ambas ímpares, logo a função
f(x)=sin(pi x)-(x^3 - x)
é ímpar. Daí
integral-1^0l[(x^3 - x)-sin(pi x)r],dx =-integral-1^0f(x),dx =integral0^1f(x),dx
Chamando
A2=integral0^1l[sin(pi x)-(x^3 - x)r],dx,
temos A=2A2.

Passo 5

Calculemos
A2 =integral0^1sin(pi x),dx -integral0^1(x^3 - x),dx
Primeiro,
integral0^1sin(pi x),dx =l[-tfrac1picos(pi x)r]0^1 =-tfrac1pil(cospi-cos0r) =-tfrac1pi(-1-1) =tfrac2pi
Depois,
integral0^1(x^3 - x),dx =l[tfracx^44-tfracx^22r]0^1 =l(tfrac14-tfrac12r) =-tfrac14
Logo
A2 =tfrac2pi-l(-tfrac14r) =tfrac2pi+tfrac14

Passo 6

Como A=2A2, temos
A =2l(tfrac2pi+tfrac14r) =tfrac4pi+tfrac12 =8+pi2pi

Resposta

8+pi2pi

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