Encontrar a área da região limitada do plano
, delimitada pelos gráficos das curvas abaixo:
e
.
(R.
)
(R.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no plano
limitada pelas curvas
O conteúdo é integração de área entre curvas, e vamos precisar determinar onde uma função fica acima da outra e então calcular integrais definidas.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção de
e
em
. Resolvendo
vemos imediatamente que em
ambos valem zero:
Não há outras raízes nesse intervalo.
Passo 3
Para saber qual curva está por cima em cada subintervalo, testamos um ponto em
e em
:
- Em
: e . Logo . - Em
: e . Logo .
Portanto a área é
Passo 4
Observamos que as funções
e
são ambas ímpares, logo a função
é ímpar. Daí
Chamando
temos
.
Passo 5
Calculemos
Primeiro,
Depois,
Logo
Passo 6
Como
, temos