Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x infty(x-raizx)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(x-raizxr)
Aqui trabalhamos com limites no infinito e comparam-se termos de crescimento diferente: x cresce linearmente e raizx cresce sublinearmente. Vamos usar fatoração e comparação de termos dominantes.

Passo 2

Fatoramos a expressão para destacar o comportamento assintótico. Para x>0,
x - raizx = raizx,l(raizx-1r)
Outra forma útil é
x - raizx = xl(1 - 1raizxr)
Como
limxtoinfty1raizx=0,
segue que
limxtoinftyl(1 - 1raizxr)=1
Isto mostra que, para x grande, o fator entre parênteses fica próximo de 1, ou seja, maior que 1/2.

Passo 3

Para demonstrar formalmente que a expressão diverge para +infty, seja M>0. Escolha
N=max4,2M
Se x>N>=4, então tfrac1raizx<=tfrac12 e
x-raizx = xl(1-1raizxr) >= xcdot12 > N2>= M
Por definição de limite que diverge para infinito, concluímos
limxtoinftyl(x-raizxr)=+infty

Resposta

+infty

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