Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x -infty(raiz4 x^2+3 x+2 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(raiz4x^2+3x+2xr)
O conteúdo principal é limite no infinito envolvendo radical. Vamos usar a técnica de racionalização para eliminar a indeterminação do tipo “infinito menos infinito”.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada raiz4x^2+3x-2x:
raiz4x^2+3x+2x =l(raiz4x^2+3x+2xr)l(raiz4x^2+3x-2xr)raiz4x^2+3x-2x =4x^2+3x-4x^2raiz4x^2+3x-2x =3xraiz4x^2+3x-2x

Passo 3

Para xto -infty, temos lvert xrvert=-x. Logo
raiz4x^2+3x =lvert xrvertraiz4+3x =-xraiz4+3x
Então o denominador vira
raiz4x^2+3x-2x =-xraiz4+tfrac3x-2x =-xl(raiz4+tfrac3x+2r)
Substituindo em tfrac3xraiz4x^2+3x-2x, obtemos
3x-xl(raiz4+tfrac3x+2r) =-3raiz4+tfrac3x+2

Passo 4

Agora avaliamos
-3raiz4+tfrac3x+2 quando xto -infty
Como tfrac3xto 0, raiz4+tfrac3xto 2. Portanto
limxto -inftyl(raiz4x^2+3x+2xr) =-32+2 =-34

Resposta

-34

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