Encontrar a área da região limitada do plano
, delimitada pelos gráficos das funções abaixo:
, e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região do plano limitada pelo gráfico de
e pela reta
.
Este é o caso clássico da “meia-circunferência” de raio centrada na origem e cortada pelo eixo
. Vamos usar o conceito de área sob a curva, via integral definida.
Este é o caso clássico da “meia-circunferência” de raio
Passo 2
Primeiro, determinamos os pontos de interseção entre
e
.
Temos quando
Temos
Logo a região está entre
e
.
Passo 3
Formulamos a área
como
Sabemos que essa integral representa exatamente a área de uma semicircunferência de raio
.
Passo 4
Para calcular a integral explicitamente, lembramos a primitiva geral
No nosso caso,
. Avaliando de
a
:
em o primeiro termo anula e o segundo dá
;
em o segundo termo dá
.
Fazendo a diferença,
em
em
Fazendo a diferença,