Encontrar a área da região limitada do plano xOy, delimitada pelos gráficos das funções abaixo:
f(x)=raiz9-x^2, e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelo gráfico de
f(x)=raiz9-x^2
e pela reta y=0.
Este é o caso clássico da “meia-circunferência” de raio 3 centrada na origem e cortada pelo eixo x. Vamos usar o conceito de área sob a curva, via integral definida.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção entre f(x) e y=0.
Temos raiz9-x^2=0 quando
9 - x^2 = 0 Longrightarrow x^2=9 Longrightarrow x=pm3
Logo a região está entre x=-3 e x=3.

Passo 3

Formulamos a área A como
A = integral-3^3 raiz9-x^2;dx
Sabemos que essa integral representa exatamente a área de uma semicircunferência de raio 3.

Passo 4

Para calcular a integral explicitamente, lembramos a primitiva geral
integral raiza^2-x^2;dx = x2,raiza^2-x^2 + a^22,arcsin!l(xar) + C
No nosso caso, a=3. Avaliando de -3 a 3:
em x=3 o primeiro termo anula e o segundo dá tfrac92cdottfracpi2= tfrac9pi4;
em x=-3 o segundo termo dá tfrac92cdot(-tfracpi2)=-tfrac9pi4.
Fazendo a diferença,
A = l(tfrac9pi4r) - l(-tfrac9pi4r) = 9pi2

Resposta

boxed9pi2

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