QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
z=ln (2 x+3 y)

Passo 1

Então, a gente tem uma função z = ln(2x + 3y) e precisa descobrir o vetor gradiente dela no ponto (1,1). O gradiente nos mostra a direção em que a função cresce mais rápido e também nos dá informações sobre as taxas de variação da função em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função z = f(x, y) é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de z em relação a x . Usando a regra da cadeia, temos:
partial zpartial x = 12x + 3y cdot 2 = 22x + 3y
Aqui, derivamos a função logarítmica ln(u) que tem derivada 1u multiplicada pela derivada de u em relação a x , onde u = 2x + 3y .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = 12x + 3y cdot 3 = 32x + 3y
De novo, usamos a regra da cadeia: derivada de ln(u) é 1u vezes a derivada de u em relação a y , onde u = 2x + 3y .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
nabla z = ( 22x + 3y, 32x + 3y )

Passo 6

Para encontrar o gradiente no ponto (1,1), vamos substituir x = 1 e y = 1 na expressão do gradiente:
nabla z (1,1) = ( 22(1) + 3(1), 32(1) + 3(1) ) = ( 25, 35 )

Resposta

O vetor gradiente da função z = ln(2x + 3y) no ponto (1,1) é ( 25, 35 ) .

Exercícios relacionados