QUESTÃO 1: DETERMINE O VETOR GRADIENTE NO PONTO (1,1) PARA CADA FUNÇÃO:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisa descobrir o vetor gradiente dela no ponto (1,1). O gradiente nos mostra a direção em que a função cresce mais rápido e também nos dá informações sobre as taxas de variação da função em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função
é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Aqui, derivamos a função logarítmica
que tem derivada
multiplicada pela derivada de
em relação a
, onde
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
De novo, usamos a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada de
em relação a
, onde
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Passo 6
Para encontrar o gradiente no ponto (1,1), vamos substituir
e
na expressão do gradiente:
Resposta
O vetor gradiente da função
no ponto (1,1) é
.