Verifique se as EDOs de 1^0 ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y(x+y+1),dx + (x+2y),dy = 0
Queremos verificar se ela é exata; caso não seja, encontrar um fator integrante e então obter a solução geral.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y(x+y+1) = xy + y^2 + y, N(x,y) = x + 2y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = x + 2y + 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. A condição é
1Nl(partial Mpartial y - partial Npartial xr) = x+2y+1 - 1,x+2y, = x+2yx+2y = 1,
que é função apenas de x. Logo
mu(x) = exp!l(integral 1,dxr) = e^x

Passo 4

Multiplicamos a equação por e^x, obtendo
tilde M(x,y),dx + tilde N(x,y),dy = 0,
onde
tilde M = e^x,y(x+y+1), tilde N = e^x,(x+2y)
Verificamos agora
partial tilde Mpartial y = e^x(x-1 +2y+1) = e^x(x+2y), partial tilde Npartial x = e^x(x+2y),
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = tilde M, phiy = tilde N
Integramos tilde M em relação a x:
phi(x,y) = integral e^x,y(x+y+1),dx = yintegral e^x(x+y+1),dx
Como integral e^x x,dx = e^x(x-1) e integral e^x,dx=e^x, temos
phi = yl[e^x(x-1)+(y+1)e^xr] + h(y) = e^xl[y(x-1)+y(y+1)r] + h(y)
Derivando em y e igualando a tilde N:
phiy = e^x(x-1 +2y+1) + h'(y) = e^x(x+2y) + h'(y) overset!= e^x(x+2y) ;Longrightarrow;h'(y)=0
Logo h é constante e podemos descartar. A solução implícita é
phi(x,y) = e^x,yl(x+yr) = C

Resposta

e^x,y,(x+y) = C

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