Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
Queremos verificar se ela é exata; caso não seja, encontrar um fator integrante e então obter a solução geral.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é
que é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação por
, obtendo
onde
Verificamos agora
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Como
e
, temos
Derivando em
e igualando a
:
Logo
é constante e podemos descartar. A solução implícita é