Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma Equação Diferencial Ordinária de Primeiro Grau com uma condição inicial. A equação é:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares de primeira ordem, como encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
t (assumindo
t neq 0 ):
Aqui,
P(t) = -1t e
Q(t) = 2 t .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
mu(t) ) que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
mu(t) = 1t :
Isso nos deixa com uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto.
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada de
mu(t) y :
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
t :
Passo 6
Ao integrar, obtemos:
onde
C é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
y :
Passo 8
Usamos a condição inicial
y(1) = 5 para encontrar
C :
Resposta
A solução do problema é: