Resolva o PVI
l t d yd t-y=2 t^2 y(1)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma Equação Diferencial Ordinária de Primeiro Grau com uma condição inicial. A equação é:
l t d yd t - y = 2 t^2 y(1) = 5
Vamos precisar usar métodos para resolver equações lineares de primeira ordem, como encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
dydt + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos todos os termos por t (assumindo t neq 0 ):
dydt - 1t y = 2 t
Aqui, P(t) = -1t e Q(t) = 2 t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( mu(t) ) que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1t dt = e^-ln |t| = t^-1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = 1t :
1t dydt - 1t^2 y = 2
Isso nos deixa com uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto.

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada de mu(t) y :
ddt( yt ) = 2
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt( yt ) dt = integral 2 dt

Passo 6

Ao integrar, obtemos:
yt = 2 t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y :
y = 2 t^2 + C t

Passo 8

Usamos a condição inicial y(1) = 5 para encontrar C :
5 = 2 (1)^2 + C (1) 5 = 2 + C C = 3

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 2 t^2 + 3 t

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