Encontrar autovalores e autovetores para um operador linear dado por
\varphi(x, y, z)=(x-3 y-z,-y,-4 x+6 y+z) .

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear
\varphi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 definido por
\varphi(x,y,z)=(\,x-3y-z,\,-y,\,-4x+6y+z\,).
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos primeiro obter a matriz de \varphi na base canônica, depois calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores e, por fim, resolver (A-\lambda I)v=0 para cada autovalor.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, a matriz A de \varphi é dada pelas imagens de cada vetor:
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ -4 & 6 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A-\lambda I por expansão na segunda linha (que tem dois zeros):
A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & -3 & -1\\\\ 0 & -1-\lambda & 0\\\\ -4 & 6 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Logo
\det(A-\lambda I) =(-1)^{2+2}(-1-\lambda) \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1\\\\ -4 & 1-\lambda \end{pmatrix} =( -1-\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2-(-1)(-4)\bigr].
Isto é,
\det(A-\lambda I) =(-1-\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2-4\bigr] =-(1+\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2-4\bigr].
E como
(1-\lambda)^2-4=(1-\lambda-2)(1-\lambda+2)=(-\lambda-1)(3-\lambda),
obtém-se
\det(A-\lambda I) =-(1+\lambda)\bigl[-(\lambda+1)(3-\lambda)\bigr] =(1+\lambda)^2(\,3-\lambda\,).

Passo 4

As raízes do polinômio característico
(1+\lambda)^2(3-\lambda)=0
são
\lambda_1=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_2=-1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 5

Para \lambda=3\) resolvemos \((A-3I)v=0\): \[A-3I =\begin{pmatrix} -2 & -3 & -1\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}
dá o sistema
\begin{cases} -2x-3y-z=0,\\\\ -4y=0,\\\\ -4x+6y-2z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\]. Então a primeira dá \(z=-2x e a terceira é redundante.
Um autovetor associado é, por exemplo,
v_1=(1,0,-2).

Passo 6

Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
A+I =\begin{pmatrix} 2 & -3 & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -4 & 6 & 2 \end{pmatrix}
que gera o único pivô na equação
2x-3y-z=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3y+z}{2}.
Como a multiplicidade algébrica é 2, esperamos uma dimensão de autovalor (geométrica) igual a 2. Escolhendo parâmetros y e z, podemos tomar dois autovetores independentes, por exemplo:
y=2,\;z=0\;\Longrightarrow\;v_2=(3,2,0), \qquad y=0,\;z=2\;\Longrightarrow\;v_3=(1,0,2).

Resposta

Autovalores e autovetores de \varphi:
\displaystyle \lambda_1=3 com autovetor
(1,0,-2),
\displaystyle \lambda_2=-1 (multiplicidade algébrica 2) com autovetores, por exemplo,
(3,2,0) \quad\text{e}\quad (1,0,2).

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