Encontrar autovalores e autovetores para um operador linear dado por
\varphi(x, y, z)=(x-3 y-z,-y,-4 x+6 y+z) .
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador linear \varphi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 definido por
\varphi(x,y,z)=(\,x-3y-z,\,-y,\,-4x+6y+z\,).
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos primeiro obter a matriz de \varphi na base canônica, depois calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores e, por fim, resolver (A-\lambda I)v=0 para cada autovalor.
Passo 2
Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, a matriz A de \varphi é dada pelas imagens de cada vetor:
Como a multiplicidade algébrica é 2, esperamos uma dimensão de autovalor (geométrica) igual a 2. Escolhendo parâmetros y e z, podemos tomar dois autovetores independentes, por exemplo: