Quais das seguintes transformações são transformações lineares? Justificar a sua resposta, usando a definição de transformação linear:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear, usando a definição de transformação linear (preservar soma e multiplicação por escalar).
Passo 2
Recordando a definição:
é linear se, para todos
e todo escalar
, valem
-
, -
.
Também vale verificar que, pois isso segue das duas propriedades.
Passo 3
Calculamos
do vetor nulo:
logo
.
Passo 4
Sejam
e
. Então
Por outro lado,
Como os resultados coincidem,
.
Passo 5
Para um escalar
,
então
.
Passo 6
Verificamos que
, que preserva soma e que preserva multiplicação por escalar. Portanto, pela definição,
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear, pois satisfaz
e
.