Quais das seguintes transformações são transformações lineares? Justificar a sua resposta, usando a definição de transformação linear:
T(x, y, z)=(z-y,-2 x);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (\,z - y,\,-2x\,)
é linear, usando a definição de transformação linear (preservar soma e multiplicação por escalar).

Passo 2

Recordando a definição: T é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
    Também vale verificar que T(0)=0, pois isso segue das duas propriedades.

Passo 3

Calculamos T do vetor nulo:
T(0,0,0) = (\,0-0,\,-2\cdot 0\,) = (0,0),
logo T(0)=0.

Passo 4

Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
T(u+v) = T\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\bigr) = \bigl((z_1+z_2)-(y_1+y_2),\;-2(x_1+x_2)\bigr).
Por outro lado,
T(u)+T(v) = (\,z_1 - y_1,\,-2x_1)\;+\;(z_2 - y_2,\,-2x_2) = \bigl((z_1+z_2)-(y_1+y_2),\;-2(x_1+x_2)\bigr).
Como os resultados coincidem, T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 5

Para um escalar \lambda,
T\bigl(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z\bigr) = (\;\lambda z - \lambda y,\;-2\,(\lambda x)\;) = \lambda\,(z-y,\,-2x) = \lambda\,T(x,y,z),
então T(\lambda u)=\lambda\,T(u).

Passo 6

Verificamos que T(0)=0, que preserva soma e que preserva multiplicação por escalar. Portanto, pela definição, T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação
T(x,y,z) = (\,z - y,\,-2x\,)
é linear, pois satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u).

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