Quais das seguintes transformações são transformações lineares? Justificar a sua resposta, usando a definição de transformação linear:
.
Passo 1
O enunciado apresenta a aplicação
e pede para verificar se
é uma transformação linear, isto é, se satisfaz as duas propriedades abaixo para todo
e todo escalar
:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificamos primeiro a aditividade. Tome
e
. Então
e
Por outro lado,
Como
sempre que
, temos
logo a aditividade falha.
Passo 3
Podemos também checar a homogeneidade para reforçar. Seja
e
. Então
enquanto
Como em geral
(exceto em casos triviais), a homogeneidade também falha.
Resposta
A transformação
não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade.