Quais das seguintes transformações são transformações lineares? Justificar a sua resposta, usando a definição de transformação linear:
T(x, y)=\left(-y^{2}, 2 x\right).

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad T(x,y)=\bigl(-y^2,\;2x\bigr)
e pede para verificar se T é uma transformação linear, isto é, se satisfaz as duas propriedades abaixo para todo u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Verificamos primeiro a aditividade. Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e
T(u+v) =\bigl(-(y_1+y_2)^2,\;2(x_1+x_2)\bigr) =\bigl(-y_1^2-2y_1y_2-y_2^2,\;2x_1+2x_2\bigr).
Por outro lado,
T(u)+T(v) =\bigl(-y_1^2,\;2x_1\bigr)+\bigl(-y_2^2,\;2x_2\bigr) =\bigl(-y_1^2-y_2^2,\;2x_1+2x_2\bigr).
Como -(y_1+y_2)^2\neq -y_1^2-y_2^2 sempre que y_1y_2\neq0, temos
T(u+v)\neq T(u)+T(v),
logo a aditividade falha.

Passo 3

Podemos também checar a homogeneidade para reforçar. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
T(c\,u)=T(cx,\,cy) =\bigl(-(cy)^2,\;2(cx)\bigr) =\bigl(-c^2y^2,\;2c\,x\bigr),
enquanto
c\,T(u) =c\bigl(-y^2,\;2x\bigr) =\bigl(-c\,y^2,\;2c\,x\bigr).
Como em geral -c^2y^2\neq -c\,y^2 (exceto em casos triviais), a homogeneidade também falha.

Resposta

A transformação T(x,y)=(-y^2,2x) não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade.

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