Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso aformativo determine e matriz diagonal correspondente.
(c) dado por .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz diagonal que o represente. Para isso, vamos colocar na base canônica, achar seus autovalores via polinômio característico e usar o fato de que, em , ter três autovalores distintos garante diagonalizabilidade.
Como são três autovalores distintos em R, a soma das dimensões dos espaços próprios é 3, isto é, T é diagonalizável.
Passo 5
Tomando como base de autovetores v1,v2,v3 correspondentes respectivamente a lambda1=0, lambda2=1 e lambda3=3, a matriz de T nessa nova base é diagonal.
Passo 6
A matriz diagonal correspondente (na ordem lambda1,lambda2,lambda3) é
D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Resposta
O operador T é diagonalizável e sua matriz diagonal, na base formada pelos autovetores associados a 0,1,3, é