Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso aformativo determine e matriz diagonal correspondente.
(c) T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y+2 z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+z,;y+z,;x+y+2z)
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz diagonal que o represente. Para isso, vamos colocar T na base canônica, achar seus autovalores via polinômio característico e usar o fato de que, em R^3, ter três autovalores distintos garante diagonalizabilidade.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3 temos
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,1), T(e3)=T(0,0,1)=(1,1,2)
Logo a matriz de T nessa base é
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 2

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
Fazendo expansão na primeira linha e simplificando, obtemos
chiA(lambda) =(1-lambda)l((1-lambda)(2-lambda)-1r)- (1-lambda) =(1-lambda)l(lambda^2-3lambdar) =(1-lambda),lambda,(lambda-3)

Passo 4

As raízes de chiA(lambda) são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=3
Como são três autovalores distintos em R, a soma das dimensões dos espaços próprios é 3, isto é, T é diagonalizável.

Passo 5

Tomando como base de autovetores v1,v2,v3 correspondentes respectivamente a lambda1=0, lambda2=1 e lambda3=3, a matriz de T nessa nova base é diagonal.

Passo 6

A matriz diagonal correspondente (na ordem lambda1,lambda2,lambda3) é
D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

O operador T é diagonalizável e sua matriz diagonal, na base formada pelos autovetores associados a 0,1,3, é
D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

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