Sejam U doteq R^3, V doteq R^2, beta doteq(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e gamma doteq(1,0),(0,1) bases dos espaços vetoriais U e V, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, T in L(U, V) tal que [T]beta gamma seja a matriz:
c) (ccc10 & 5 & -3 2 & -1 & 4)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon Uto V com U=R^3, V=R^2, nas bases canônicas
beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e
gamma=(1,0),(0,1), de modo que
[T]betagamma = 10 & 5 & -3 2 & -1 & 4
Usaremos a relação entre a matriz de T e as imagens dos vetores da base.

Passo 2

A teoria nos diz que a j-ésima coluna de [T]betagamma é exatamente T(ej) escrito nas coordenadas da base gamma. Assim:
T(1,0,0)=T(e1)=(10,2), T(0,1,0)=T(e2)=(5,-1), T(0,0,1)=T(e3)=(-3,4)

Passo 3

Por linearidade, para um vetor genérico (x,y,z)inR^3 vale
T(x,y,z) = x,T(e1) + y,T(e2) + z,T(e3) = (10x + 5y - 3z,;2x - y + 4z)

Resposta

Para cada (x,y,z)inR^3,
T(x,y,z) = l(10x + 5y - 3z,;2x - y + 4zr)

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