Escreva o polinômio t^2+4 t-3 como uma combinação linear de p1=t^2-2 t+5, p2=2 t^2-3 t e p3= t+1 (Apresente todos os cálculos. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questāo. 1,0 pto). a(t^2-2 t+5)+b(2 t^2-3 t+0)+c(0+t+1)=(t^2+4 t-3)
(a t^2-a 2 t+a 5)+(b-2 t^2-b+0)+(0+c t+c)=(t^2+4 t-3)
(a t^2+b 2 t^2+0,-a 2 t-b-3 t+c t, a 5+0+c)=(t^2+4 t-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear de polinômios. A ideia é escrever o polinômio t^2 + 4t - 3 como uma combinação de três outros polinômios: p1 = t^2 - 2t + 5 , p2 = 2t^2 - 3t e p3 = t + 1 . Para isso, vamos encontrar os coeficientes a , b e c que vão multiplicar cada polinômio e, juntos, formar o polinômio desejado. Vamos precisar montar um sistema de equações igualando os coeficientes dos termos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear com os coeficientes a , b e c :
a(t^2 - 2t + 5) + b(2t^2 - 3t) + c(t + 1) = t^2 + 4t - 3

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro de cada polinômio:
a t^2 - 2a t + 5a + 2b t^2 - 3b t + c t + c = t^2 + 4t - 3

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos com t^2 , t e os constantes:
(a + 2b) t^2 + (-2a - 3b + c) t + (5a + c) = t^2 + 4t - 3

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
  1. Para t^2 :
a + 2b = 1
  1. Para t :
-2a - 3b + c = 4
  1. Para os termos constantes:
5a + c = -3

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da terceira equação, podemos isolar c :
c = -3 - 5a

Passo 7

Substituímos c na segunda equação:
-2a - 3b + (-3 - 5a) = 4 -2a - 3b - 3 - 5a = 4 -7a - 3b = 7 (Somando 3 dos dois lados)

Passo 8

Agora, temos duas equações com a e b :
  1. a + 2b = 1
  2. -7a - 3b = 7
Vamos resolver a primeira equação para a :
a = 1 - 2b

Passo 9

Substituímos a na segunda equação:
-7(1 - 2b) - 3b = 7 -7 + 14b - 3b = 7 11b = 14 b = 1411

Passo 10

Agora, encontramos a :
a = 1 - 2 ( 1411 ) = 1 - 2811 = -1711

Passo 11

E finalmente, encontramos c :
c = -3 - 5 ( -1711 ) = -3 + 8511 = -33 + 8511 = 5211

Resposta

Portanto, os coeficientes são:
a = -1711, b = 1411, c = 5211
Logo, o polinômio t^2 + 4t - 3 pode ser escrito como:
-1711(t^2 - 2t + 5) + 1411(2t^2 - 3t) + 5211(t + 1)

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