Escreva o polinômio
como uma combinação linear de
e
(Apresente todos os cálculos. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questāo. 1,0 pto).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear de polinômios. A ideia é escrever o polinômio
como uma combinação de três outros polinômios:
,
e
. Para isso, vamos encontrar os coeficientes
,
e
que vão multiplicar cada polinômio e, juntos, formar o polinômio desejado. Vamos precisar montar um sistema de equações igualando os coeficientes dos termos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear com os coeficientes
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro de cada polinômio:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos com
,
e os constantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para os termos constantes:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da terceira equação, podemos isolar
:
Passo 7
Substituímos
na segunda equação:
Passo 8
Agora, temos duas equações com
e
:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 9
Substituímos
na segunda equação:
Passo 10
Agora, encontramos
:
Passo 11
E finalmente, encontramos
:
Resposta
Portanto, os coeficientes são:
Logo, o polinômio
pode ser escrito como: