Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos do espaço vetorial que geram e e suas dimensões em que , é o subespaço gerado por e V=M2(R).
Passo 1
O enunciado pede, em V=M2(R), os conjuntos geradores e dimensões de quatro subespaços: U=Ain M2(R):A^t=A, W=spanl1&10&1r, Ucap W e U+W. Vamos usar a teoria de subespaços vetoriais, bases e a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Passo 2
Para , uma matriz simétrica tem forma geral
com . Logo, é gerado pelos matrizes independentes
Portanto
Passo 3
Por definição,
W=spanl1&10&1r
Assim
SW=l1&10&1r, dim W=1
Passo 4
Para achar Ucap W, procuramos escalar k tal que
k1&10&1
seja simétrico. Isso exige kcdot1=kcdot0, logo k=0. Assim
Ucap W=0,
e
SUcap W=0, dim(Ucap W)=0
Passo 5
Aplicando a fórmula de dimensão,
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=3+1-0=4
Mas dim V=4, então U+W=V. Um gerador (base) de U+W é a união de SU com o gerador de W:
SU+W =lE11,,E12+E21,,E22,, 1&10&1r, dim(U+W)=4
Resposta
SU = E11,,E12+E21,,E22, dim U = 3 SW = 1&10&1, dim W = 1 SU cap W = 0, dim U cap W = 0 SU+W = E11,,E12+E21,,E22,,1&10&1, dim U+W = 4)