Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaço vetorial V que geram U, W, U cap W e U+W e suas dimensões em que
U=[(1,0,0),(1,1,1)], W=[(0,1,0),(0,0,1)] e V=R^3

Passo 1

O enunciado define os subespaços
U=span(1,0,0),(1,1,1) e W=span(0,1,0),(0,0,1) em V= R^3.
Precisamos encontrar geradores (conjuntos S) e dimensões de U, W, Ucap W e U+W. Vamos usar conceitos de combinação linear, independência e solução de sistemas lineares para interseção e soma de subespaços.

Passo 2

Para U, tomamos SU=(1,0,0),(1,1,1). Esses vetores são linearmente independentes pois não há escalar não-trivial que transforme um no outro. Logo
dim(U)=2.

Passo 3

Para W, tomamos SW=(0,1,0),(0,0,1). Esses vetores também são linearmente independentes, pois cada um tem componente não-nula em posição distinta. Logo
dim(W)=2.

Passo 4

Para Ucap W, buscamos v tal que
v=a(1,0,0)+b(1,1,1)=(a+b,b,b) e
v=c(0,1,0)+d(0,0,1)=(0,c,d).
Igualando coordenadas:
a+b=0, b=c, b=d
daí a=-b e c=d=b. Então
v=(0,b,b)=b,(0,1,1)
Um gerador é (0,1,1) e
dim(Ucap W)=1.

Passo 5

Para U+W, basta unir os geradores de U e W:
(1,0,0),(1,1,1),(0,1,0),(0,0,1).
Como R^3 tem dimensão 3 e já vemos que (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) estão no span dessa união, segue que
U+W= R^3 e
dim(U+W)=3. Um gerador mínimo é o conjunto canônico (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Resposta

SU=(1,0,0),(1,1,1),;dim(U)=2
SW=(0,1,0),(0,0,1),;dim(W)=2
SUcap W=(0,1,1),;dim(Ucap W)=1
SU+W=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),;dim(U+W)=3

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