Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos
do espaço vetorial
que geram
e
e suas dimensões em que
e
Passo 1
O enunciado define os subespaços
e
em
.
Precisamos encontrar geradores (conjuntos ) e dimensões de
,
,
e
. Vamos usar conceitos de combinação linear, independência e solução de sistemas lineares para interseção e soma de subespaços.
Precisamos encontrar geradores (conjuntos
Passo 2
Para
, tomamos
. Esses vetores são linearmente independentes pois não há escalar não-trivial que transforme um no outro. Logo
.
Passo 3
Para
, tomamos
. Esses vetores também são linearmente independentes, pois cada um tem componente não-nula em posição distinta. Logo
.
Passo 4
Para
, buscamos
tal que
e
.
Igualando coordenadas:
Igualando coordenadas:
daí
e
. Então
Um gerador é
e
.
Passo 5
Para
, basta unir os geradores de
e
:
.
Como tem dimensão 3 e já vemos que
estão no span dessa união, segue que
e
. Um gerador mínimo é o conjunto canônico
.
Como