Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaço vetorial V que geram U, W, U cap W e U+W e suas dimensões em que
U=[t^3+4 t^2-t+3, t^3+5 t^2+5,3 t^3], W=[t^3+4 t^2, t-1,1] e V=P3(R).

Passo 1

O enunciado pede para achar bases (ou, de modo geral, subconjuntos geradores) e dimensões de
no espaço cuja base canônica é . Vamos:
  1. escrever coordenadas de em ,
  2. determinar independência para e ,
  3. calcular e e extrair bases para esses espaços.

Passo 2

Coordenadas em t^3,t^2,t,1:
p1=(1,4,-1,3), p2=(1,5,0,5), p3=(3,0,0,0)
Formamos a matriz 4times3 cujas colunas são p1,p2,p3. Pela eliminação gaussiana obtemos posto 3, logo
dim(U)=3
e p1,p2,p3 já é uma base de U.

Passo 3

Coordenadas de
q1=(1,4,0,0), q2=(0,0,1,-1), q3=(0,0,0,1)
A matriz 4times3 com colunas q1,q2,q3 também tem posto 3, logo
dim(W)=3
e q1,q2,q3 é base de W.

Passo 4

Para juntamos as seis colunas e vemos que o posto da matriz é 4 (atinge o máximo em ), portanto
Uma base óbvia de é a base canônica

Passo 5

Usando a fórmula de Grassmann
dim(Ucap W)=dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=3+3-4=2
Para achar uma base de Ucap W resolvemos
alpha p1+beta p2+gamma p3 =de<a q1+varepsilon q2+zeta q3
em coordenadas, o que leva a beta=12gamma e a expressar tudo em termos de alpha,gamma. Os dois vetores obtidos são
p1=t^3+4t^2-t+3, r=12,p2+p3=15l(t^3+4t^2+4r),
podendo-se trocar r por t^3+4t^2+4. Esses dois são linharesmente independentes e geram Ucap W, logo
dim(Ucap W)=2

Resposta

Sendo
p1=t^3+4t^2-t+3,;p2=t^3+5t^2+5,;p3=3t^3, q1=t^3+4t^2,;q2=t-1,;q3=1,
temos:
SU=p1,p2,p3, dim(U)=3;
SW=q1,q2,q3, dim(W)=3;
SU+W=t^3,t^2,t,1, dim(U+W)=4;
SUcap W=,t^3+4t^2-t+3,;t^3+4t^2+4, dim(Ucap W)=2

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