Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos
do espaço vetorial
que geram
e
e suas dimensões em que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar bases (ou, de modo geral, subconjuntos geradores) e dimensões de
no espaço cuja base canônica é
. Vamos:
- escrever coordenadas de
em , - determinar independência para
e , - calcular
e e extrair bases para esses espaços.
Passo 2
Coordenadas em
:
Formamos a matriz
cujas colunas são
. Pela eliminação gaussiana obtemos posto 3, logo
e
já é uma base de
.
Passo 3
Coordenadas de
A matriz
com colunas
também tem posto 3, logo
e
é base de
.
Passo 4
Para
juntamos as seis colunas e vemos que o posto da matriz
é 4 (atinge o máximo em
), portanto
Uma base óbvia de
é a base canônica
Passo 5
Usando a fórmula de Grassmann
Para achar uma base de
resolvemos
em coordenadas, o que leva a
e a expressar tudo em termos de
. Os dois vetores obtidos são
podendo-se trocar
por
. Esses dois são linharesmente independentes e geram
, logo
Resposta
Sendo
temos: