Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
[T]B=(ccc 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4 )
em que B é a base canônica de R^3. Encontre uma base para Im T e uma base para Ker T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para a Imagem de T (Im T) e uma base para o Núcleo de T (Ker T), onde T é uma transformação linear de R^3 para R^3 . O que isso significa? Basicamente, queremos descobrir quais vetores formam os “resultados possíveis” de T (Im T) e quais vetores são enviados para o zero por T (Ker T). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, transformação linear, e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz que representa T na base canônica B :
[T]B = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4
Essa matriz nos dá uma ideia de como T atua nos vetores de R^3 .

Passo 3

Encontrando a base para Im T:
A Im T, ou imagem de T, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a qualquer vetor de R^3 . Para achar uma base para Im T, precisamos encontrar as colunas da matriz [T]B que são linearmente independentes.
Vamos olhar para as colunas:
c1 = 1 0 -1, c2 = 2 1 3, c3 = 1 1 4
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com essas colunas e ver se o posto (rank) dela é igual ao número de colunas. Vamos fazer a redução para a forma escalonada:
1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4
Primeiro, somamos a linha 1 com a linha 3 para eliminar o -1:
1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 0 & 5 & 5
Agora, vamos eliminar o 5 na terceira linha usando a segunda linha:
1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
O posto da matriz é 2, então apenas duas colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Identificamos que as duas primeiras colunas são independentes. Portanto, uma base para Im T é formada por essas duas colunas:
Base para Im T = 1 0 -1, 2 1 3

Passo 6

Encontrando a base para Ker T:
O Ker T é o conjunto de todos os vetores x em R^3 tais que T(x) = 0 . Para achar uma base para Ker T, precisamos resolver a equação [T]B x = 0 .
Escrevendo isso, temos:
1x1 + 2x2 + 1x3 = 0 0x1 + 1x2 + 1x3 = 0 -1x1 + 3x2 + 4x3 = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
x2 + x3 = 0 implies x2 = -x3
Substituindo x2 na primeira equação:
x1 + 2(-x3) + x3 = 0 implies x1 - x3 = 0 implies x1 = x3
Agora, na terceira equação:
- x1 + 3(-x3) + 4x3 = 0 implies -x3 -3x3 +4x3 = 0 implies 0 = 0
Isso quer dizer que nossas soluções são parametrizadas por x3 .

Passo 8

Vamos chamar x3 = t , onde t é um parâmetro real. Então:
x1 = t, x2 = -t, x3 = t
Podemos escrever o vetor solução como:
x = t 1 -1 1
Portanto, a base para Ker T é o conjunto que contém apenas esse vetor.

Resposta

Uma base para a imagem de T é 1 0 -1, 2 1 3 e uma base para o núcleo de T é 1 -1 1 .

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