Use o teorema da divergência para calcular a integral integralegral duplaS F d S, onde F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^3) e S é a superfície do sólido limitado pelo cone x^2+y^2-z^2=0 e pelo plano z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral superficial da função vetorial F(x, y, z) = (x^3, y^3, z^3) sobre a superfície S, que é o sólido limitado pelo cone x^2 + y^2 - z^2 = 0 e pelo plano z = 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar a integral sobre uma superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência de F.

Passo 2

Primeiro, o Teorema da Divergência diz que a integral da divergência de um campo vetorial F sobre um volume V fechado é igual à integral de F sobre a superfície que limita esse volume. Matematicamente, isso é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Então, vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para nosso campo F(x, y, z) = (x^3, y^3, z^3), temos:
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2

Passo 3

Agora, precisamos definir o volume V que está limitado pelo cone x^2 + y^2 - z^2 = 0 e pelo plano z = 1. Observando o cone, podemos reescrevê-lo como z = raizx^2 + y^2, o que mostra que é um cone com vértice na origem e que se abre para cima. O plano z = 1 corta esse cone, formando uma superfície fechada.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta y = r sintheta z = z
Nesse sistema, o cone fica z = r e o plano é z = 1. Então, z varia de r até 1, r varia de 0 até 1 (já que no plano z=1, r = 1), e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A divergência em coordenadas cilíndricas ficou:
nabla cdot F = 3r^2 + 3z^2
A fórmula da integral tripla em coordenadas cilíndricas é:
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^1 (3r^2 + 3z^2) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, multiplicamos por r porque o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é r , dz , dr , dtheta.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a z:
integralr^1 (3r^2 + 3z^2) , dz = 3r^2(1 - r) + 3(1^33 - r^33) = 3r^2(1 - r) + (1 - r^3)
Simplificando:
= 3r^2 - 3r^3 + 1 - r^3 = 1 + 3r^2 - 4r^3
Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 (1 + 3r^2 - 4r^3) cdot r , dr = integral0^1 (r + 3r^3 - 4r^4) , dr
Integrando termo a termo:
[r^22 + 3r^44 - 4r^55]0^1 = 12 + 34 - 45 = 1020 + 1520 - 1620 = 920
Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 920 , dtheta = 920 cdot 2pi = 9pi10

Resposta

A integral integral duplaS F cdot dS vale dfrac9pi10.

Exercícios relacionados