Use o teorema da divergência para calcular a integral
, onde
e
é a superfície do sólido limitado pelo cone
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral superficial da função vetorial
sobre a superfície
, que é o sólido limitado pelo cone
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar a integral sobre uma superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência de
.
Passo 2
Primeiro, o Teorema da Divergência diz que a integral da divergência de um campo vetorial
sobre um volume
fechado é igual à integral de
sobre a superfície que limita esse volume. Matematicamente, isso é:
Então, vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para nosso campo
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos definir o volume
que está limitado pelo cone
e pelo plano
. Observando o cone, podemos reescrevê-lo como
, o que mostra que é um cone com vértice na origem e que se abre para cima. O plano
corta esse cone, formando uma superfície fechada.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema, o cone fica
e o plano é
. Então,
varia de
até
,
varia de
até
(já que no plano
,
), e
varia de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A divergência em coordenadas cilíndricas ficou:
A fórmula da integral tripla em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, multiplicamos por
porque o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
A integral
vale
.