Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
está explicitamente dada e o intervalo de integração é
.
A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva entre e
.
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva entre
Passo 2
Fórmula que usamos (motivação rápida e simples): divida a curva em pequenos trechos horizontais de comprimento aproximado
. Dividindo por
e passando ao limite, obtemos a expressão diferencial
Portanto o comprimento de arco
de
em
é
onde
é a derivada de
em relação a
. Aqui
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
da função dada. A função é
Use a regra potencia: se
então
. Aplicando termo a termo:
O termo constante
some na derivada. Portanto
Passo 4
Agora calculemos
. Expandindo o quadrado:
Usando
com
e
,
Logo
Passo 5
Somamos
a
para obter o integrando:
Perceba que isso é exatamente um quadrado perfeito: compare com
Portanto
Como
varia em
(valores positivos), a raiz quadrada positiva é
(Justificativa rápida: escolhemos o sinal positivo porque o comprimento é soma de comprimentos positivos e para
a expressão
é positiva.)
Passo 6
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
Isto quebra em duas integrais simples:
Passo 7
Calcule as antiderivadas usando a regra de potências:
para
.
Para o primeiro termo, com
:
Para o segundo termo, com
:
Multiplicando pelo fator
temos
Assim uma primitiva do integrando é
Passo 8
Avalie a primitiva nos limites
e
:
Como
, temos
e
. Portanto
Para
,
Logo o comprimento é