Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y=\frac{3 x^{4 / 3}}{4}-\frac{3 x^{2 / 3}}{8}+5,1 \leq x \leq 8

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
y=\frac{3 x^{4/3}}{4}-\frac{3 x^{2/3}}{8}+5,
no intervalo \,1\le x\le 8.
Informações relevantes fornecidas:
\,y(x) está explicitamente dada e o intervalo de integração é \,[1,8].
A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva entre \,x=1 e \,x=8.

Passo 2

Fórmula que usamos (motivação rápida e simples): divida a curva em pequenos trechos horizontais de comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. Dividindo por \Delta x e passando ao limite, obtemos a expressão diferencial
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Portanto o comprimento de arco L de \,y(x) em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'(x)\right)^{2}}\,dx,
onde y'(x) é a derivada de y em relação a x. Aqui a=1 e b=8.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \,y'(x) da função dada. A função é
y=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{3}{8}x^{2/3}+5.
Use a regra potencia: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\text{Primeiro termo: }\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{4/3-1}=1\cdot x^{1/3}=x^{1/3}.
\text{Segundo termo: }\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{8}x^{2/3}\right)=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}x^{2/3-1}=\frac{1}{4}x^{-1/3}.
O termo constante 5 some na derivada. Portanto
y'(x)=x^{1/3}-\frac{1}{4}x^{-1/3}.

Passo 4

Agora calculemos \left(y'(x)\right)^{2}. Expandindo o quadrado:
\left(y'(x)\right)^{2}=\left(x^{1/3}-\frac{1}{4}x^{-1/3}\right)^{2}.
Usando (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 com A=x^{1/3} e B=\tfrac{1}{4}x^{-1/3},
A^{2}=x^{2/3},\qquad -2AB=-2\cdot x^{1/3}\cdot\frac{1}{4}x^{-1/3}=-\frac{1}{2},
B^{2}=\left(\frac{1}{4}x^{-1/3}\right)^{2}=\frac{1}{16}x^{-2/3}.
Logo
\left(y'(x)\right)^{2}=x^{2/3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}x^{-2/3}.

Passo 5

Somamos 1 a \left(y'(x)\right)^{2} para obter o integrando:
1+\left(y'(x)\right)^{2}=x^{2/3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16}x^{-2/3}.
Perceba que isso é exatamente um quadrado perfeito: compare com
\left(x^{1/3}+\frac{1}{4}x^{-1/3}\right)^{2}=x^{2/3}+2\cdot\frac{1}{4}+ \frac{1}{16}x^{-2/3}=x^{2/3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16}x^{-2/3}.
Portanto
1+\left(y'(x)\right)^{2}=\left(x^{1/3}+\frac{1}{4}x^{-1/3}\right)^{2}.
Como x varia em [1,8] (valores positivos), a raiz quadrada positiva é
\sqrt{1+\left(y'(x)\right)^{2}}=x^{1/3}+\frac{1}{4}x^{-1/3}.
(Justificativa rápida: escolhemos o sinal positivo porque o comprimento é soma de comprimentos positivos e para x>0 a expressão x^{1/3}+\tfrac14 x^{-1/3} é positiva.)

Passo 6

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L=\int_{1}^{8}\left(x^{1/3}+\frac{1}{4}x^{-1/3}\right)\,dx.
Isto quebra em duas integrais simples:
L=\int_{1}^{8}x^{1/3}\,dx+\frac{1}{4}\int_{1}^{8}x^{-1/3}\,dx.

Passo 7

Calcule as antiderivadas usando a regra de potências: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Para o primeiro termo, com n=\tfrac{1}{3}:
\int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}=\frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}x^{4/3}.
Para o segundo termo, com n=-\tfrac{1}{3}:
\int x^{-1/3}\,dx=\frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1}=\frac{x^{2/3}}{2/3}=\frac{3}{2}x^{2/3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{4} temos
\frac{1}{4}\int x^{-1/3}\,dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}x^{2/3}=\frac{3}{8}x^{2/3}.
Assim uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}+\frac{3}{8}x^{2/3}.

Passo 8

Avalie a primitiva nos limites \,1 e \,8:
F(8)=\frac{3}{4}\cdot 8^{4/3}+\frac{3}{8}\cdot 8^{2/3}.
Como 8^{1/3}=2, temos 8^{2/3}=4 e 8^{4/3}=16. Portanto
F(8)=\frac{3}{4}\cdot 16+\frac{3}{8}\cdot 4=\frac{48}{4}+\frac{12}{8}=12+\frac{3}{2}=\frac{27}{2}.
Para x=1,
F(1)=\frac{3}{4}\cdot 1+\frac{3}{8}\cdot 1=\frac{3}{4}+\frac{3}{8}=\frac{9}{8}.
Logo o comprimento é
L=F(8)-F(1)=\frac{27}{2}-\frac{9}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{99}{8}

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