Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
x=\frac{y^{3}}{6}+\frac{1}{2 y}, 2 \leq y \leq 3

Passo 1

O enunciado pede encontrar o comprimento de arco da curva dada por
x=\frac{y^{3}}{6}+\frac{1}{2y},\qquad 2\le y\le 3.
Informações relevantes fornecidas:
\;x está expressa como função de \;y.
O intervalo do parâmetro é \;y\in[2,3].
A tarefa é calcular o comprimento da curva entre esses dois valores de \;y.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar: quando a curva está dada como x em função de y, o comprimento de arco entre y=a e y=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Explicação dessa fórmula, de forma simples: divida o intervalo em pedaços muito pequenos. Em cada pedaço, a variação pequena de coordenadas é \,dx e \,dy, e o segmento de reta aproximando a curva tem comprimento \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(dx/dy)^{2}}\;dy. Somando (integrando) esses pedacinhos obtemos o comprimento total. Aqui \;dx/dy é a derivada de x em relação a y.

Passo 3

Calcular a derivada \frac{dx}{dy}. Diferenciando termo a termo:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{3}}{6}\right)=\frac{3y^{2}}{6}=\frac{y^{2}}{2},
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{2y}\right)=\frac{d}{dy}\!\left(\tfrac{1}{2}y^{-1}\right)=-\tfrac{1}{2}y^{-2}=-\frac{1}{2y^{2}}.
Somando os dois resultados temos
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2}\Bigl(y^{2}-y^{-2}\Bigr).

Passo 4

Calcular 1+\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^{2} e simplificar. Primeiro elevamos ao quadrado:
\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=\frac{1}{4}\Bigl(y^{2}-y^{-2}\Bigr)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(y^{4}-2+y^{-4}\bigr).
Agora somamos 1:
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} =1+\frac{1}{4}\bigl(y^{4}-2+y^{-4}\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(y^{4}+2+y^{-4}\bigr).
Observa que y^{4}+2+y^{-4}=(y^{2}+y^{-2})^{2}. Logo
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=\frac{1}{4}\bigl(y^{2}+y^{-2}\bigr)^{2}.
Tomando a raiz quadrada (sempre positiva no comprimento de arco; e aqui y>0 no intervalo),
\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\bigl(y^{2}+y^{-2}\bigr).

Passo 5

Substituir na integral do comprimento de arco:
L=\int_{2}^{3}\frac{1}{2}\bigl(y^{2}+y^{-2}\bigr)\,dy =\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\bigl(y^{2}+y^{-2}\bigr)\,dy.

Passo 6

Integrar passo a passo. As primitivas são fáceis:
\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3},\qquad \int y^{-2}\,dy=-y^{-1}.
Portanto
\int\bigl(y^{2}+y^{-2}\bigr)\,dy=\frac{y^{3}}{3}-y^{-1}.
Aplicando os limites e o fator \tfrac{1}{2}:
L=\frac{1}{2}\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{1}{y}\right]_{2}^{3}.
Calculemos os valores em y=3 e y=2:
\left(\frac{y^{3}}{3}-\frac{1}{y}\right)\Bigg|_{y=3}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3},
\left(\frac{y^{3}}{3}-\frac{1}{y}\right)\Bigg|_{y=2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}=\frac{16}{6}-\frac{3}{6}=\frac{13}{6}.
A diferença é \frac{26}{3}-\frac{13}{6}=\frac{52-13}{6}=\frac{39}{6}=\frac{13}{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
L=\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{2}=\frac{13}{4}.
Boa! Chegamos ao comprimento exato.

Resposta

\dfrac{13}{4}

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