Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y^{2}=4 x, 0 \leq y \leq 2

Passo 1

O enunciado dá a curva
y^{2}=4x,\quad 0\le y\le 2
e pede: encontrar o comprimento de arco da parte dessa curva correspondente a y variando de 0 até 2.
Informações relevantes que temos:
  • A curva está num intervalo em y: y\in[0,2].
  • Da equação obtemos x em função de y: x=\dfrac{y^{2}}{4}.
  • Queremos o comprimento da curva entre os pontos correspondentes a y=0 e y=2.

Passo 2

Vamos escolher uma maneira prática de calcular o comprimento de arco: usar y como parâmetro (ou seja, tratar x como função de y). Por que isso é conveniente? Porque a equação já dá x explicitamente em termos de y, então calcular dx/dy fica direto e a integral do comprimento fica simples de montar.

Passo 3

Lembrete da fórmula do comprimento de arco quando a curva é dada por x=x(y) para y entre y_{1} e y_{2}:
L=\int_{y_{1}}^{y_{2}}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^{2}+1}\,dy.
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: um pequeno trecho da curva tem variação dx na horizontal e dy na vertical; o comprimento desse trecho é aproximadamente \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}. Dividindo por dy e integrando obtemos a fórmula acima. Na fórmula, \dfrac{dx}{dy} é a derivada de x em relação a y.

Passo 4

A partir de y^{2}=4x isolamos
x=\dfrac{y^{2}}{4}.
Calculamos a derivada em relação a y:
\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y}{2}.
Substituindo na fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{2}\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}}\,dy =\int_{0}^{2}\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{4}}\,dy.
Simplificando a raiz:
\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4+y^{2}},
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L=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{4+y^{2}}\,dy.

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral
I=\int\sqrt{4+y^{2}}\,dy.
Vou derivar a antiderivada padrão usando integração por partes — isso é útil de decorar e também é didático.
Colocamos u=\sqrt{4+y^{2}} e dv=dy. Então du=\dfrac{y}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy e v=y. Pela integração por partes,
I = y\sqrt{4+y^{2}}-\int y\cdot\dfrac{y}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy = y\sqrt{4+y^{2}}-\int \dfrac{y^{2}}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy.
Agora escrevemos y^{2}=(4+y^{2})-4 no numerador da integral:
\int \dfrac{y^{2}}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy =\int \dfrac{4+y^{2}}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy - \int \dfrac{4}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy =\int \sqrt{4+y^{2}}\,dy - 4\int \dfrac{1}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy.
Substituindo de volta em I:
I = y\sqrt{4+y^{2}} - \Bigl( \int \sqrt{4+y^{2}}\,dy - 4\int \dfrac{1}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy \Bigr).
Agrupando o termo \int \sqrt{4+y^{2}}\,dy (que é I) obtemos:
I = y\sqrt{4+y^{2}} - I + 4\int \dfrac{1}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy.
Passando I para o lado esquerdo:
2I = y\sqrt{4+y^{2}} + 4\int \dfrac{1}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy.
A integral \int \dfrac{1}{\sqrt{4+y^{2}}}\,dy é uma integral padrão cujo resultado é \ln\bigl(y+\sqrt{4+y^{2}}\bigr) (mais constante). Assim
2I = y\sqrt{4+y^{2}} + 4\ln\bigl(y+\sqrt{4+y^{2}}\bigr)+C,
ou seja
I=\dfrac{y}{2}\sqrt{4+y^{2}} + 2\ln\bigl(y+\sqrt{4+y^{2}}\bigr)+C.
Esse é o resultado geral da antiderivada.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida que precisamos:
\int_{0}^{2}\sqrt{4+y^{2}}\,dy
usando a antiderivada encontrada. Aplicando os limites,
\left[\dfrac{y}{2}\sqrt{4+y^{2}} + 2\ln\bigl(y+\sqrt{4+y^{2}}\bigr)\right]_{0}^{2}.
Calculamos em y=2:
\sqrt{4+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
então
\dfrac{2}{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}, \qquad 2\ln\bigl(2+2\sqrt{2}\bigr)=2\ln\bigl(2(1+\sqrt{2})\bigr)=2\ln 2 + 2\ln(1+\sqrt{2}).
Em y=0:
\dfrac{0}{2}\sqrt{4+0}=0, \qquad 2\ln\bigl(0+\sqrt{4}\bigr)=2\ln 2.
Subtraindo (valor em 2 menos valor em 0):
\int_{0}^{2}\sqrt{4+y^{2}}\,dy = \bigl(2\sqrt{2} + 2\ln 2 + 2\ln(1+\sqrt{2})\bigr) - 2\ln 2 = 2\sqrt{2} + 2\ln(1+\sqrt{2}).

Passo 7

Voltando ao comprimento L:
L=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{4+y^{2}}\,dy =\dfrac{1}{2}\bigl(2\sqrt{2} + 2\ln(1+\sqrt{2})\bigr) =\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}).

Passo 8

Pequeno reforço para decorar: o resultado combina uma parte radical \sqrt{2} e uma parte logarítmica \ln(1+\sqrt{2}). Em provas, é comum ver esse tipo de combinação para comprimentos de arcos de parábolas/hipérbolas — não assusta, é apenas consequência da integral de \sqrt{a^{2}+x^{2}}.

Resposta

\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})

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