Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede: encontrar o comprimento de arco da parte dessa curva correspondente a
variando de
até
.
Informações relevantes que temos:
- A curva está num intervalo em
: . - Da equação obtemos
em função de : . - Queremos o comprimento da curva entre os pontos correspondentes a
e .
Passo 2
Vamos escolher uma maneira prática de calcular o comprimento de arco: usar
como parâmetro (ou seja, tratar
como função de
). Por que isso é conveniente? Porque a equação já dá
explicitamente em termos de
, então calcular
fica direto e a integral do comprimento fica simples de montar.
Passo 3
Lembrete da fórmula do comprimento de arco quando a curva é dada por
para
entre
e
:
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: um pequeno trecho da curva tem variação
na horizontal e
na vertical; o comprimento desse trecho é aproximadamente
. Dividindo por
e integrando obtemos a fórmula acima. Na fórmula,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
A partir de
isolamos
Calculamos a derivada em relação a
:
Substituindo na fórmula do comprimento:
Simplificando a raiz:
logo
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
Vou derivar a antiderivada padrão usando integração por partes — isso é útil de decorar e também é didático.
Colocamos
e
. Então
e
. Pela integração por partes,
Agora escrevemos
no numerador da integral:
Substituindo de volta em
:
Agrupando o termo
(que é
) obtemos:
Passando
para o lado esquerdo:
A integral
é uma integral padrão cujo resultado é
(mais constante). Assim
ou seja
Esse é o resultado geral da antiderivada.
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida que precisamos:
usando a antiderivada encontrada. Aplicando os limites,
Calculamos em
:
então
Em
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Passo 7
Voltando ao comprimento
:
Passo 8
Pequeno reforço para decorar: o resultado combina uma parte radical
e uma parte logarítmica
. Em provas, é comum ver esse tipo de combinação para comprimentos de arcos de parábolas/hipérbolas — não assusta, é apenas consequência da integral de
.