Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
, e pede o comprimento de arco dessa curva entre
e
.
Informações relevantes:
A tarefa é calcular o comprimento de arco
da curva nesse intervalo.
Passo 2
A fórmula padrão para o comprimento de arco de uma curva dada por
em
é
Aqui
é a derivada da função
em relação a
. Vou então calcular
passo a passo.
Regras básicas que vou usar:
- Regra do poder:
. - Regra da cadeia:
. - Derivada de
é (aplicação das duas regras acima).
Passo 3
Derivando termo a termo:
Para o termo
, aplicando a regra da cadeia:
Somando tudo:
Passo 4
Observe que
e que
. Então
Portanto é mais conveniente escrever
Para simplificar a integral do comprimento, vamos analisar
.
Passo 5
Calculemos
usando
. Então
. Expandindo:
Agora some 1:
Repare que isto é exatamente o quadrado
Logo
Passo 6
Como o integrando no comprimento é a raiz positiva de
, temos
porque no intervalo dado
temos
, então a soma é positiva e a raiz positiva coincide com essa expressão.
Portanto o comprimento é
Passo 7
Separe a integral em duas:
Agora calcule as antiderivadas:
- Para
: expandindo ou usando substituição , obtemos
- Para
: usamos , então
Somando, uma primitiva conveniente é
Passo 8
Avalie
nos extremos:
Passo 9
O comprimento é
. Em forma não simplificada: