Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x+\frac{1}{4 x+4}, 0 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado dá a curva
y=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x+\frac{1}{4x+4},
no intervalo [0,2], e pede o comprimento de arco dessa curva entre x=0 e x=2.
Informações relevantes:
\text{Função: } y(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x+\frac{1}{4x+4},çã
\text{Intervalo: } 0\le x\le 2.
A tarefa é calcular o comprimento de arco L da curva nesse intervalo.

Passo 2

A fórmula padrão para o comprimento de arco de uma curva dada por y=y(x) em a\le x\le b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Aqui y'(x) é a derivada da função y em relação a x. Vou então calcular y'(x) passo a passo.
Regras básicas que vou usar:
  • Regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra da cadeia: \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x).
  • Derivada de (ax+b)^{-1} é -a (ax+b)^{-2} (aplicação das duas regras acima).

Passo 3

Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2},
\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2x,
\frac{d}{dx}\left(x\right)=1.
Para o termo \dfrac{1}{4x+4}=(4x+4)^{-1}, aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left((4x+4)^{-1}\right)=-1\cdot(4x+4)^{-2}\cdot 4 = -\frac{4}{(4x+4)^{2}}.
Somando tudo:
y'(x)=x^{2}+2x+1-\frac{4}{(4x+4)^{2}}.

Passo 4

Observe que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2} e que 4x+4=4(x+1). Então
\frac{4}{(4x+4)^{2}}=\frac{4}{16(x+1)^{2}}=\frac{1}{4(x+1)^{2}}.
Portanto é mais conveniente escrever
y'(x)=(x+1)^{2}-\frac{1}{4(x+1)^{2}}.
Para simplificar a integral do comprimento, vamos analisar 1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}.

Passo 5

Calculemos \bigl(y'(x)\bigr)^{2} usando u=(x+1)^{2}. Então y'=u-\dfrac{1}{4u}. Expandindo:
\bigl(y'\bigr)^{2}=\left(u-\frac{1}{4u}\right)^{2}=u^{2}-2\cdot u\cdot\frac{1}{4u}+\frac{1}{16u^{2}}=u^{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16u^{2}}.
Agora some 1:
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=u^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16u^{2}}.
Repare que isto é exatamente o quadrado
\left(u+\frac{1}{4u}\right)^{2}=u^{2}+2\cdot u\cdot\frac{1}{4u}+\frac{1}{16u^{2}}=u^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{16u^{2}}.
Logo
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\left((x+1)^{2}+\frac{1}{4(x+1)^{2}}\right)^{2}.

Passo 6

Como o integrando no comprimento é a raiz positiva de 1+(y')^{2}, temos
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=(x+1)^{2}+\frac{1}{4(x+1)^{2}},
porque no intervalo dado x\in[0,2] temos x+1>0, então a soma é positiva e a raiz positiva coincide com essa expressão.
Portanto o comprimento é
L=\int_{0}^{2}\left[(x+1)^{2}+\frac{1}{4(x+1)^{2}}\right]dx.

Passo 7

Separe a integral em duas:
L=\int_{0}^{2}(x+1)^{2}\,dx+\int_{0}^{2}\frac{1}{4}(x+1)^{-2}\,dx.
Agora calcule as antiderivadas:
  • Para (x+1)^{2}: expandindo ou usando substituição t=x+1, obtemos
\int (x+1)^{2}\,dx=\int (x^{2}+2x+1)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x + C.
  • Para \frac{1}{4}(x+1)^{-2}: usamos \int (x+1)^{-2}dx=-(x+1)^{-1}+C, então
\int \frac{1}{4}(x+1)^{-2}dx=-\frac{1}{4(x+1)}+C.
Somando, uma primitiva conveniente é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+x-\frac{1}{4(x+1)}.

Passo 8

Avalie F nos extremos:
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+2^{2}+2-\frac{1}{4(2+1)}=\frac{8}{3}+4+2-\frac{1}{12}=\frac{8}{3}+6-\frac{1}{12}=\frac{103}{12},
F(0)=\frac{0}{3}+0+0-\frac{1}{4(0+1)}=-\frac{1}{4}.

Passo 9

O comprimento é L=F(2)-F(0). Em forma não simplificada:
L=\frac{103}{12}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{103}{12}+\frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{53}{6}

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