Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y=\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\cos x no intervalo 0\le x\le 2\pi e pede que a gente estabeleça a integral que representa o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo.
Informações fornecidas:
\;y=\cos x.
\;x varia de 0 até 2\pi.
Pergunta: montar a integral que calcula o comprimento do arco de y=\cos x entre x=0 e x=2\pi.

Passo 2

Qual é a fórmula que usamos para comprimento de arco? Vou explicar devagarinho e com intuição. Considere uma função y=f(x) contínua e diferenciável em [a,b]. Se dividirmos o intervalo [a,b] em muitos pedacinhos pequenos \Delta x, o pedaço da curva sobre um desses intervalos é bem aproximado por um segmento de reta cujo comprimento aproximado é
\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
Como \Delta y \approx f'(x)\,\Delta x quando \Delta x é pequeno, temos
\Delta s \approx \Delta x\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}.
Somando todos os pedaços e passando ao limite (partição ficando infinitamente fina) dá a integral
L=\int_a^b \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Aqui: L é o comprimento do arco, a e b são os extremos em x, f'(x) é a derivada de f (a inclinação instantânea). Essa fórmula é a que vamos aplicar.

Passo 3

Agora calcule a derivada de y=\cos x. Lembra que a derivada dá a inclinação da reta tangente e que a derivada de \cos x é -\sin x. Portanto
y'=\frac{dy}{dx}=-\sin x.
Expliquei: -\sin x significa que quando x aumenta, y varia com velocidade -\sin x. Para o comprimento precisamos de \bigl(y'\bigr)^2, e
\bigl(y'\bigr)^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x.

Passo 4

Substituímos \bigl(y'\bigr)^2=\sin^2 x na fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx.
Isso já é a integral que dá o comprimento do arco da curva y=\cos x no intervalo pedido. Vou detalhar um pouquinho mais para deixar a forma mais simpática.

Passo 5

Podemos aproveitar simetria para escrever uma forma equivalente mais curta. Note que \sin^2 x tem período \pi (porque \sin(x+\pi)=-\sin x, logo \sin^2(x+\pi)=\sin^2 x). Assim o integrando \sqrt{1+\sin^2 x} tem período \pi. Logo
\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx = 2\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx.
Além disso, em [0,\pi] a função \sin^2 x é simétrica em torno de x=\tfrac{\pi}{2}, então
\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx = 2\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx.
Combinando obtemos uma forma frequentemente usada:
L = 4\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx.

Passo 6

Observação sobre avaliação: a integral \int \sqrt{1+\sin^2 x}\,dx não se expressa em termos de funções elementares usuais (polinomiais, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, etc.). Ela pertence à família das integrais elípticas; portanto a forma mais prática e exata para o comprimento é deixá-la como integral definida (ou expressá-la por funções elípticas, se você já as conhecer). Para a prova normalmente basta escrever a integral correta e, se pedirem, usar propriedades de simetria para simplificá-la.

Resposta

L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\sin^2 x}\,dx
L=4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+\sin^2 x}\,dx

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