Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
e pede que a gente estabeleça a integral que representa o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo.
Informações fornecidas:
.
varia de
até
.
Pergunta: montar a integral que calcula o comprimento do arco de entre
e
.
Informações fornecidas:
Pergunta: montar a integral que calcula o comprimento do arco de
Passo 2
Qual é a fórmula que usamos para comprimento de arco? Vou explicar devagarinho e com intuição. Considere uma função
contínua e diferenciável em
. Se dividirmos o intervalo
em muitos pedacinhos pequenos
, o pedaço da curva sobre um desses intervalos é bem aproximado por um segmento de reta cujo comprimento aproximado é
Como
quando
é pequeno, temos
Somando todos os pedaços e passando ao limite (partição ficando infinitamente fina) dá a integral
Aqui:
é o comprimento do arco,
e
são os extremos em
,
é a derivada de
(a inclinação instantânea). Essa fórmula é a que vamos aplicar.
Passo 3
Agora calcule a derivada de
. Lembra que a derivada dá a inclinação da reta tangente e que a derivada de
é
. Portanto
Expliquei:
significa que quando
aumenta,
varia com velocidade
. Para o comprimento precisamos de
, e
Passo 4
Substituímos
na fórmula do comprimento:
Isso já é a integral que dá o comprimento do arco da curva
no intervalo pedido. Vou detalhar um pouquinho mais para deixar a forma mais simpática.
Passo 5
Podemos aproveitar simetria para escrever uma forma equivalente mais curta. Note que
tem período
(porque
, logo
). Assim o integrando
tem período
. Logo
Além disso, em
a função
é simétrica em torno de
, então
Combinando obtemos uma forma frequentemente usada:
Passo 6
Observação sobre avaliação: a integral
não se expressa em termos de funções elementares usuais (polinomiais, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, etc.). Ela pertence à família das integrais elípticas; portanto a forma mais prática e exata para o comprimento é deixá-la como integral definida (ou expressá-la por funções elípticas, se você já as conhecer). Para a prova normalmente basta escrever a integral correta e, se pedirem, usar propriedades de simetria para simplificá-la.