Encontrar o comprimento de arco das curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada por
, no intervalo de
de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matemática, que nos ajuda a calcular a distância ao longo de uma curva. Vamos precisar saber como derivar funções e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da curva mais fácil de trabalhar. A equação é
. Vamos resolver essa equação para
em função de
.
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então:
Agora temos
em função de
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Essa derivada nos será útil na fórmula do comprimento do arco.
Vamos derivar
:
Então:
Passo 4
A fórmula para o comprimento de arco
de uma curva
de
a
é:
Vamos substituir
na fórmula:
Simplificando o que está dentro da raiz:
Então a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mudando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando isso na nossa integral:
Substituindo os limites:
Calculando
e
:
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento do arco da curva
no intervalo de
de
a
é aproximadamente 7,63 unidades.