Encontrar o comprimento de arco das curvas:
(y-1)^2=(x+4)^3,-3 <= x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada por (y-1)^2 = (x+4)^3, no intervalo de x de -3 a 0. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matemática, que nos ajuda a calcular a distância ao longo de uma curva. Vamos precisar saber como derivar funções e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da curva mais fácil de trabalhar. A equação é (y-1)^2 = (x+4)^3. Vamos resolver essa equação para y em função de x.
(y - 1)^2 = (x + 4)^3
Para isolar y, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
y - 1 = raiz(x + 4)^3
Então:
y = 1 + (x + 4)^32
Agora temos y em função de x, ou seja, y(x) = 1 + (x + 4)^32.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, que é dydx. Essa derivada nos será útil na fórmula do comprimento do arco.
Vamos derivar y = 1 + (x + 4)^32:
dydx = ddx[1 + (x + 4)^32] = 0 + 32(x + 4)^12
Então:
dydx = 32(x + 4)^12

Passo 4

A fórmula para o comprimento de arco S de uma curva y(x) de x = a a x = b é:
S = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Vamos substituir dydx na fórmula:
S = integral-3^0 raiz1 + ( 32(x + 4)^12 )^2 , dx
Simplificando o que está dentro da raiz:
( 32(x + 4)^12 )^2 = 94(x + 4)
Então a integral fica:
S = integral-3^0 raiz1 + 94(x + 4) , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + 94(x + 4) = 44 + 94(x + 4) = 4 + 9(x + 4)4 = 9x + 404
Então a integral fica:
S = integral-3^0 raiz9x + 404 , dx = integral-3^0 raiz9x + 402 , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
S = 12 integral-3^0 raiz9x + 40 , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = 9x + 40 Rightarrow dudx = 9 Rightarrow dx = du9
Mudando os limites de integração:
  • Quando x = -3, u = 9(-3) + 40 = -27 + 40 = 13
  • Quando x = 0, u = 9(0) + 40 = 40
Substituindo na integral:
S = 12 integral13^40 raizu cdot du9 = 118 integral13^40 u^12 , du

Passo 7

Integrando u^12:
integral u^12 , du = 23 u^32 + C
Aplicando isso na nossa integral:
S = 118 [ 23 u^32 ]13^40 = 127 [ u^32 ]13^40
Substituindo os limites:
S = 127 ( 40^32 - 13^32 )
Calculando 40^32 e 13^32:
40^32 = 40 cdot raiz40 approx 40 cdot 6.3246 approx 252.984
13^32 = 13 cdot raiz13 approx 13 cdot 3.6056 approx 46.8728
Substituindo de volta:
S approx 127 (252.984 - 46.8728) = 127 cdot 206.1112 approx 7.63

Resposta

O comprimento do arco da curva (y-1)^2 = (x+4)^3 no intervalo de x de -3 a 0 é aproximadamente 7,63 unidades.

Exercícios relacionados