Encontrar o comprimento da hélice circular
\mathbf{F}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t)
do ponto A(1,0,0) a B(-1,0, \pi).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
\mathbf{F}(t) = (\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t)
do ponto A(1,0,0) até B(-1,0,\pi). O conteúdo usado é a fórmula de comprimento de curva paramétrica,
L = \int_{t_1}^{t_2} \bigl\|\mathbf{F}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Precisamos achar os valores de t que geram A e B. Verificamos
\mathbf{F}(0) = (\cos0,\;\sen0,\;0) = (1,0,0) = A,
\mathbf{F}(\pi) = (\cos\pi,\;\operatorname{sen}\pi,\;\pi) = (-1,0,\pi) = B.
Logo, t varia de 0 a \pi.

Passo 3

Calculamos a derivada vetorial
\mathbf{F}'(t) = \bigl(-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1\bigr)
e seu módulo
\bigl\|\mathbf{F}'(t)\bigr\| = \sqrt{(-\operatorname{sen} t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{\operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco com \|\mathbf{F}'(t)\| = \sqrt{2} constante:
L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = \sqrt{2}\,\pi.

Resposta

O comprimento da hélice é \pi\sqrt{2}.

Exercícios relacionados