Encontrar o conjunto solução para a desigualdade (3x - 5) / x ≥ 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Esse exercício está relacionado a álgebra, mais especificamente a desigualdades racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações e entender como resolver desigualdades envolvendo variáveis no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a comparação. Subtraímos 6 de ambos os lados:

Passo 3

Para combinar os termos, precisamos de um denominador comum. Como 6 pode ser escrito como , temos:

Passo 4

Agora, unimos os numeradores mantendo o denominador:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais multiplicando o numerador e denominador por -1 (lembre-se que multiplicar ou dividir ambos os lados da desigualdade por um número negativo inverte o sinal da desigualdade):

Passo 6

Agora, queremos encontrar os valores de x que fazem com que a fração seja menor ou igual a zero. Para isso, identificamos onde o numerador e o denominador são zero:
  • Numerador:
  • Denominador: x = 0 (não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida)

Passo 7

Dividimos a linha dos números em intervalos baseados nesses pontos críticos: , , e . Vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é negativa ou zero.
  • Intervalo 1 ( ):
    Escolha :
  • Intervalo 2 ( ):
    Escolha :
  • Intervalo 3 ( ):
    Escolha x = 1:

Passo 8

Observamos que a fração é menor ou igual a zero apenas no Intervalo 2, ou seja, quando . Lembrando que x não pode ser zero.

Resposta

O conjunto solução para a desigualdade é .

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