Estude os valores extremos da função sujeita a restrição dada.
(b)
sujeita a
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar seus valores extremos (mínimo e máximo) considerando a restrição
. Para isso, vamos usar técnicas de otimização com restrições, especificamente os multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a restrição
. Isso significa que os pontos
que satisfazem essa inequação estão abaixo ou sobre a reta
no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos focar na função
. Essa é uma função quadrática que representa uma elipse no gráfico. Queremos encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores mínimos e máximos dentro da região definida pela restrição.
Passo 4
Para encontrar esses extremos, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Isso nos ajuda a otimizar a função
sujeita à restrição
.
Passo 5
Montamos as equações dos multiplicadores de Lagrange:
Isso resulta nas seguintes equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos
. Da segunda equação,
. Substituindo esses valores na terceira equação:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta para encontrar
e
:
Resposta
O valor mínimo da função ocorre no ponto
, com: