Estude os valores extremos da função sujeita a restrição dada.
(b) f(x, y) = x^2 + 2y^2 sujeita a 3 x + y <= 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar seus valores extremos (mínimo e máximo) considerando a restrição . Para isso, vamos usar técnicas de otimização com restrições, especificamente os multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a restrição . Isso significa que os pontos que satisfazem essa inequação estão abaixo ou sobre a reta no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos focar na função . Essa é uma função quadrática que representa uma elipse no gráfico. Queremos encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores mínimos e máximos dentro da região definida pela restrição.

Passo 4

Para encontrar esses extremos, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Isso nos ajuda a otimizar a função sujeita à restrição .

Passo 5

Montamos as equações dos multiplicadores de Lagrange:
Isso resulta nas seguintes equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos . Da segunda equação, . Substituindo esses valores na terceira equação:

Passo 7

Agora, substituímos de volta para encontrar e :

Resposta

O valor mínimo da função ocorre no ponto , com:

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