Encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=(cos 2 x^3-1x)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=gl(cos2x^3-1xgr)^4
O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia duas vezes (para a potência e para a função cosseno) e a derivada de uma expressão do tipo quociente.

Passo 2

Definimos duas funções internas para aplicar a regra da cadeia de forma organizada:
v(x)=2x^3-1x, u(x)=cosl(v(x)r)
Então podemos reescrever
f(x)=l(u(x)r)^4

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à potência temos
f'(x)=4l(u(x)r)^3,u'(x)

Passo 4

Agora derivamos u(x)=cosl(v(x)r) por cadeia:
u'(x)=-sinl(v(x)r),v'(x)

Passo 5

Para v(x)=2x^3-1x podemos simplificar antes de derivar:
v(x)=2x^2 - x^-1
Então
v'(x)=4x + x^-2

Passo 6

Reunindo tudo:
f'(x) =4l(u(x)r)^3l[-sinl(v(x)r),v'(x)r] =-4,l(cos(v(x))r)^3sin(v(x))l(4x + x^-2r)
Voltando à notação original,
f'(x)=-4l(4x + x^-2r)gl(cos2x^3-1xgr)^3 sin!l(2x^3-1xr)

Resposta

f'(x)=-4l(4x + x^-2r)l(cos2x^3-1xr)^3 sin!l(2x^3-1xr)

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