Encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=e^sen x^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = e^sen(x^5)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, aplicada duas vezes: primeiro na derivada da exponencial composta, depois na derivada do seno de x^5.

Passo 2

Identificamos a estrutura composta em dois níveis:
  1. A função externa é a exponencial e^u.
  2. A função interna é u(x)=sen(x^5).
    Pela regra da cadeia,
f'(x) = ddxl(e^u(x)r) = e^u(x)cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) para
u(x)=sen(x^5)
De novo aplicamos a regra da cadeia: a função externa é sen(v) e a interna é v(x)=x^5. Logo,
u'(x) = ddvl(sen(v)r)|v=x^5;cdot;ddx(x^5) = cos(x^5);cdot;5x^4

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x)=e^u(x)cdot u'(x), obtemos
f'(x) = e^sen(x^5) ;cdot;l(cos(x^5),5x^4r) =5x^4,e^sen(x^5)cos(x^5)

Resposta

f'(x)=5x^4,e^sen(x^5)cos(x^5)

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