Encontrar a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=sen x^43^x sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=sin(x^4)3^x,sin x
Isso envolve quociente de funções exponencial e trigonométrica. Para simplificar, vamos usar log-diferenciação, que transforma produtos e quocientes em somas e diferenças de logaritmos.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln f(x)=lnl(sin(x^4)r)-lnl(3^xr)-lnl(sin xr)

Passo 3

Derivando em relação a x:
f'(x)f(x)=ddxlnl(sin(x^4)r)-ddxl(xln3r)-ddxlnl(sin xr)
Para cada termo:
  • ddxln(sin(x^4))=cos(x^4)cdot4x^3sin(x^4)=4x^3cot(x^4)
  • ddx(xln3)=ln3 Logo -ln3.
  • ddxln(sin x)=cot x Logo -cot x.
    Assim,
f'(x)f(x)=4x^3cot(x^4)-ln3-cot x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por f(x) e lembrando que f(x)=sin(x^4)/(3^xsin x), obtemos
f'(x)=sin(x^4)3^x,sin xl(4x^3cot(x^4)-ln3-cot xr)

Resposta

f'(x)=sin(x^4)3^x,sin xl(4x^3cot(x^4)-ln3-cot xr)

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