Obtenha as equações das retas tangentes à parábola de equação y^2-6 y=2 x-17, nos pontos de abscissa x=12.

Passo 1

O enunciado dá a parábola implícita
y^2 - 6y = 2x - 17
e pede as retas tangentes nos pontos de abscissa x=12. Para resolver, vamos:
  1. localizar esses pontos substituindo x=12 na curva;
  2. obter a derivada implícita dydx para achar o coeficiente angular;
  3. escrever a equação da reta em cada ponto.

Passo 2

Substituindo x=12 em
y^2 - 6y = 2x - 17
temos
y^2 - 6y = 2cdot12 - 17 = 24 - 17 = 7,
ou seja,
y^2 - 6y - 7 = 0
Resolvendo a quadrática:
y = 6 pm raiz36 + 282 = 6 pm 82,
logo y = 7 ou y = -1.
Os pontos são (12,7) e (12,-1).

Passo 3

Para achar a derivada implícita, diferenciamos
y^2 - 6y = 2x - 17
em relação a x:
2y,y' - 6y' = 2 Longrightarrow y'(2y - 6) = 2 Longrightarrow y' = 22(y - 3) = 1y - 3
Em cada ponto:
  • Em (12,7): y' = 17 - 3 = 14
  • Em (12,-1): y' = 1-1 - 3 = -14

Passo 4

A equação da reta tangente em (x0,y0) com coeficiente m é
y - y0 = m,(x - x0)
  • Para (12,7) com m = tfrac14:
y - 7 = tfrac14(x - 12) Longrightarrow y = tfrac14 x + 4
  • Para (12,-1) com m = -tfrac14:
y + 1 = -tfrac14(x - 12) Longrightarrow y = -tfrac14 x + 2

Resposta

As retas tangentes são
y = tfrac14 x + 4 e y = -tfrac14 x + 2

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