Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
; na direção do vetor
Passo 1
O problema pede para encontrar a derivada direcional de um campo vetorial
no ponto
na direção do vetor
. O conteúdo envolvido é a derivada direcional de campos vetoriais em
, que se resolve calculando o operador
, sendo
o vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Primeiro vamos obter o vetor unitário
na direção de
. Calculamos o módulo de
e dividimos:<br>
<br>logo<br>
Passo 3
Agora encontramos os gradientes dos componentes de
. Chamando
e
, temos:<br>
Passo 4
Em seguida avaliamos esses gradientes no ponto
e projetamos na direção
. Primeiro as avaliações:<br>
<br>$$\nabla f_2(1,2,2)=\bigl(2\cdot2 e^{1\cdot2},,1\cdot2 e{1\cdot2},,e{1\cdot2}\bigr)=(4e2,2e2,e^2).
$$
Passo 5
Por fim, a derivada direcional de
é dada por<br>$$D_{\vec u}\vec f=(\nabla f_1\cdot\vec u),\vec i + (\nabla f_2\cdot\vec u),\vec j + (0),\vec k.
$$
Passo 6
Portanto, juntando as componentes, a derivada direcional é o vetor: