Encontrar a derivada direcional do campo vetorial dado, no ponto e direçảo indicados.
f(x, y, z)=(x^2+y^2) i+z e^x y j ; P0(1,2,2); na direção do vetor i+2 j

Passo 1

O problema pede para encontrar a derivada direcional de um campo vetorial vec f(x,y,z)=(x^2+y^2),vec i + z e^xy,vec j no ponto P0=(1,2,2) na direção do vetor vec v=vec i+2,vec j. O conteúdo envolvido é a derivada direcional de campos vetoriais em R^3, que se resolve calculando o operador Dvec uvec f=(vec ucdotnabla)vec f, sendo vec u o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro vamos obter o vetor unitário vec u na direção de vec v= (1,2,0). Calculamos o módulo de vec v e dividimos:<br> |vec v|=raiz1^2+2^2+0^2=raiz5,<br>logo<br> vec u=1raiz5(1,2,0)=l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5,0r)

Passo 3

Agora encontramos os gradientes dos componentes de vec f. Chamando f1(x,y,z)=x^2+y^2 e f2(x,y,z)=z e^xy, temos:<br> nabla f1=(2x,,2y,,0), nabla f2=l(zy e^xy,,zx e^xy,,e^xyr)

Passo 4

Em seguida avaliamos esses gradientes no ponto P0=(1,2,2) e projetamos na direção vec u. Primeiro as avaliações:<br> nabla f1(1,2,2)=(2cdot1,,2cdot2,,0)=(2,4,0),<br>$$\nabla f_2(1,2,2)=\bigl(2\cdot2 e^{1\cdot2},,1\cdot2 e{1\cdot2},,e{1\cdot2}\bigr)=(4e2,2e2,e^2).
$$

Passo 5

Por fim, a derivada direcional de vec f é dada por<br>$$D_{\vec u}\vec f=(\nabla f_1\cdot\vec u),\vec i + (\nabla f_2\cdot\vec u),\vec j + (0),\vec k.
Dvec uvec f=(nabla f1cdotvec u),vec i + (nabla f2cdotvec u),vec j + (0),vec k \nabla f_1(1,2,2)\cdot\vec u=2\cdot\tfrac{1}{\sqrt5}+4\cdot\tfrac{2}{\sqrt5}=\tfrac{2+8}{\sqrt5}=\tfrac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5, nabla f1(1,2,2)cdotvec u=2cdottfrac1raiz5+4cdottfrac2raiz5=tfrac2+8raiz5=tfrac10raiz5=2raiz5,\nabla f_2(1,2,2)\cdot\vec u=4e2\cdot\tfrac{1}{\sqrt5}+2e2\cdot\tfrac{2}{\sqrt5}=\tfrac{4e2+4e2}{\sqrt5}=\tfrac{8e^2}{\sqrt5}.
$$

Passo 6

Portanto, juntando as componentes, a derivada direcional é o vetor:

Resposta

Dvec uvec f(1,2,2)=2raiz5,vec i+8e^2raiz5,vec j.

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