Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A derivada deve ser encontrada em pontos onde a função está definida (ou seja,
, , pois ali não existe).
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): a função é uma composição de duas funções — uma função exterior que eleva ao quadrado e uma função interior
. O método natural aqui é a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia com calma.
Regra da cadeia (fórmula e significado): se uma função é composta, isto é, se
, então a derivada de
é dada por
Aqui:
-
é a função exterior (por exemplo, ); -
é a função interior (por exemplo, ); -
significa: calcular a derivada de e depois avaliar em ; -
é a derivada da função interior.
Passo 3
Identificar exterior e interior e derivar a parte exterior:
- Tomo
. Então com . - A função exterior é
. A derivada de em relação a é
- Avaliando em
obtemos
Passo 4
Derivar a parte interior
. Vou mostrar por que
usando a definição
e a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): se
, então
Aplicando com
e
:
-
, -
.
Logo
Portanto
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e combinar os resultados:
Assim
Observações úteis (formas equivalentes e domínio):
- Usando a identidade
dá para reescrever
- A derivada está definida nos mesmos pontos onde
existe, isto é, , .