Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\tan ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f(x)=\tan^{2}x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\tan^{2}x.
  • A derivada deve ser encontrada em pontos onde a função está definida (ou seja, x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}, pois ali \tan x não existe).

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): a função é uma composição de duas funções — uma função exterior que eleva ao quadrado e uma função interior \tan x. O método natural aqui é a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia com calma.
Regra da cadeia (fórmula e significado): se uma função é composta, isto é, se F(x)=g(h(x)), então a derivada de F é dada por
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui:
  • g é a função exterior (por exemplo, g(u)=u^{2});
  • h é a função interior (por exemplo, h(x)=\tan x);
  • g'(h(x)) significa: calcular a derivada de g e depois avaliar em u=h(x);
  • h'(x) é a derivada da função interior.

Passo 3

Identificar exterior e interior e derivar a parte exterior:
  • Tomo u=\tan x. Então f(x)=(u)^{2} com u=h(x)=\tan x.
  • A função exterior é g(u)=u^{2}. A derivada de g em relação a u é
g'(u)=2u.
  • Avaliando em u=\tan x obtemos
g'(h(x))=2\tan x.

Passo 4

Derivar a parte interior h(x)=\tan x. Vou mostrar por que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x usando a definição \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente.
Regra do quociente (fórmula): se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aplicando com u(x)=\sin x e v(x)=\cos x:
  • u'(x)=\cos x,
  • v'(x)=-\sin x.
Logo
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto h'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e combinar os resultados:
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=(2\tan x)\cdot(\operatorname{sec}^{2}x).
Assim
f'(x)=2\tan x\operatorname{sec}^{2}x.
Observações úteis (formas equivalentes e domínio):
  • Usando a identidade \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x dá para reescrever
f'(x)=2\tan x(1+\tan^{2}x)=2\tan x+2\tan^{3}x.
  • A derivada está definida nos mesmos pontos onde \tan x existe, isto é, x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

f'(x)=2\tan x\operatorname{sec}^{2}x

Exercícios relacionados