Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar a derivada dessa função, ou seja,
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau
. - Os coeficientes são
para , para , para e como termo constante. - O objetivo é calcular a derivada em forma algébrica (função derivada).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o conceito básico de derivada: a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. A definição formal usa o quociente de diferença:
Aqui,
é um incremento pequeno em
, e esse limite, quando existe, dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 3
Na prática, para polinômios usamos regras que tornam o cálculo rápido. A regra central que iremos usar é a regra da potência (power rule), que diz:
Explicando as partes:
é o expoente; ao derivar, multiplicamos por
e reduzimos o expoente em
.
Passo 4
Também usamos propriedades simples:
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade):
- A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função:
onde
é constante.
- A derivada de uma constante é zero:
Passo 5
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
: aqui
. Pela regra da potência,
Interpretação: a inclinação instantânea do termo
é
.
Passo 6
Para o segundo termo
, trate-o como constante
vezes
. Usando linearidade e a regra da potência com
:
Passo 7
Para o terceiro termo
, é uma constante
multiplicando
. Lembrando que
, obtemos:
Passo 8
Para o termo constante
, a derivada é zero:
Passo 9
Agora somamos as derivadas de cada termo, usando a linearidade:
Simplificando os sinais,
Passo 10
Resumo rápido para guardar na prova: ao derivar um polinômio, deriva-se termo a termo; para cada termo
a derivada é
. Aqui:
-
, -
, -
, -
.