Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=x^{3}-x^{2}-5 x+7

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}-x^{2}-5x+7
e pede para encontrar a derivada dessa função, ou seja, f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 3.
  • Os coeficientes são 1 para x^{3}, -1 para x^{2}, -5 para x e 7 como termo constante.
  • O objetivo é calcular a derivada em forma algébrica (função derivada).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o conceito básico de derivada: a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea da função naquele ponto. A definição formal usa o quociente de diferença:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui, h é um incremento pequeno em x, e esse limite, quando existe, dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x.

Passo 3

Na prática, para polinômios usamos regras que tornam o cálculo rápido. A regra central que iremos usar é a regra da potência (power rule), que diz:
\text{Se }g(x)=x^{n}\text{ com }n\in\mathbb{R},\text{ então }g'(x)=n\,x^{n-1}.ã
Explicando as partes: n é o expoente; ao derivar, multiplicamos por n e reduzimos o expoente em 1.

Passo 4

Também usamos propriedades simples:
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade):
\frac{d}{dx}(u(x)+v(x))=u'(x)+v'(x).
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função:
\frac{d}{dx}\big(a\,u(x)\big)=a\,u'(x),
onde a é constante.
  • A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.

Passo 5

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo x^{3}: aqui n=3. Pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Interpretação: a inclinação instantânea do termo x^{3} é 3x^{2}.

Passo 6

Para o segundo termo -x^{2}, trate-o como constante -1 vezes x^{2}. Usando linearidade e a regra da potência com n=2:
\frac{d}{dx}\big(-x^{2}\big)=-1\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-1\cdot(2x)=-2x.

Passo 7

Para o terceiro termo -5x, é uma constante -5 multiplicando x. Lembrando que \frac{d}{dx}(x)=1, obtemos:
\frac{d}{dx}\big(-5x\big)=-5\cdot\frac{d}{dx}(x)=-5\cdot 1=-5.

Passo 8

Para o termo constante 7, a derivada é zero:
\frac{d}{dx}(7)=0.

Passo 9

Agora somamos as derivadas de cada termo, usando a linearidade:
f'(x)=3x^{2}+(-2x)+(-5)+0.
Simplificando os sinais,
f'(x)=3x^{2}-2x-5.

Passo 10

Resumo rápido para guardar na prova: ao derivar um polinômio, deriva-se termo a termo; para cada termo a x^{n} a derivada é a n x^{n-1}. Aqui:
  • x^{3}\mapsto 3x^{2},
  • -x^{2}\mapsto -2x,
  • -5x\mapsto -5,
  • 7\mapsto 0.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-2x-5

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