Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é escrita como raiz quadrada de uma razão: o argumento da raiz é
. - Para a expressão fazer sentido real, é preciso que
e que . (Isso determina o domínio onde está definida.) - A derivada será buscada para os pontos onde
é diferenciável (isto é, dentro do domínio aberto onde não há singularidade).
Passo 2
Escolha do método e estratégia (explicação didática e sem pular etapas).
- Vou tratar a função como uma função composta:
com e . - Para derivar uma função composta, uso a regra da cadeia: se
, então
Vou explicar as duas peças que preciso calcular:
-
para . -
para , usando a regra do quociente.
Breve aula sobre as regras usadas:
- Regra da cadeia: diz que a derivada da composição é a derivada da função externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da interna. Em símbolos, se
e , então . - Derivada de potência: para
com constante, . No nosso caso , então . - Regra do quociente: para
com ,
Aplicarei isso a
e
.
Passo 3
Calcular
para
. Usando a regra da potência:
Isto significa, explicitando em termos de
,
Passo 4
Calcular
para
usando a regra do quociente.
- Tome
e . - Então
e .
Aplicando a fórmula do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia:
.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Simplifico o fator numérico
, obtendo
Agora vou simplificar a expressão com potências fracionárias. Lembre que
e que
Assim
Combino as potências de
:
Portanto
Passo 6
Fazer uma simplificação alternativa e comentar domínio de diferenciabilidade.
- Observação útil:
.
Assim outra forma conveniente para a derivada é
- Sobre o domínio onde essa derivada é válida: a função original está definida para
(porque e ). A derivada encontrada tem denominação que se anula em , portanto a função é diferenciável no intervalo aberto . Em o comportamento é singular (a derivada tende a ), e em a função nem está definida. Conclusão: é diferenciável em e a expressão acima vale para todo .