Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
e pede a sua derivada f'(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é escrita como raiz quadrada de uma razão: o argumento da raiz é \dfrac{1-x}{1+x}.
  • Para a expressão fazer sentido real, é preciso que \dfrac{1-x}{1+x}\ge 0 e que 1+x\neq 0. (Isso determina o domínio onde f está definida.)
  • A derivada será buscada para os pontos onde f é diferenciável (isto é, dentro do domínio aberto onde não há singularidade).

Passo 2

Escolha do método e estratégia (explicação didática e sem pular etapas).
  • Vou tratar a função como uma função composta: f(x)=h(u(x)) com h(u)=u^{1/2} e u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}.
  • Para derivar uma função composta, uso a regra da cadeia: se f(x)=h(u(x)), então
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Vou explicar as duas peças que preciso calcular:
  1. h'(u) para h(u)=u^{1/2}.
  2. u'(x) para u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}, usando a regra do quociente.
Breve aula sobre as regras usadas:
  • Regra da cadeia: diz que a derivada da composição é a derivada da função externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da interna. Em símbolos, se h(u)=u^{1/2} e u=u(x), então d/dx\,h(u(x))=(dh/du)(u(x))\cdot (du/dx).
  • Derivada de potência: para h(u)=u^{n} com n constante, h'(u)=n u^{n-1}. No nosso caso n=\tfrac{1}{2}, então h'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • Regra do quociente: para u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com w(x)\neq0,
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w(x)^2}.
Aplicarei isso a v(x)=1-x e w(x)=1+x.

Passo 3

Calcular h'(u) para h(u)=u^{1/2}. Usando a regra da potência:
h'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}.
Isto significa, explicitando em termos de u(x),
h'(u(x))=\frac{1}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/2} =\frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1/2}.

Passo 4

Calcular u'(x) para u(x)=\dfrac{1-x}{1+x} usando a regra do quociente.
  • Tome v(x)=1-x e w(x)=1+x.
  • Então v'(x)=-1 e w'(x)=1.
Aplicando a fórmula do quociente:
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w(x)^2} =\frac{(-1)(1+x)-(1-x)(1)}{(1+x)^2}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(-1)(1+x)-(1-x)= -1 - x -1 + x = -2.
Portanto
u'(x)=\frac{-2}{(1+x)^2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1/2}\cdot\frac{-2}{(1+x)^2}.
Simplifico o fator numérico \tfrac{1}{2}\cdot(-2)=-1, obtendo
f'(x)=-\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1/2}\cdot\frac{1}{(1+x)^2}.
Agora vou simplificar a expressão com potências fracionárias. Lembre que a^{-1/2}=(1/a)^{1/2} e que
\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1/2}=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2}.
Assim
f'(x)=-\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2}\cdot\frac{1}{(1+x)^2}.
Combino as potências de 1+x:
\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2}\cdot\frac{1}{(1+x)^2} =\frac{(1+x)^{1/2}}{(1-x)^{1/2}}\cdot\frac{1}{(1+x)^2} =\frac{1}{(1-x)^{1/2}(1+x)^{3/2}}.
Portanto
f'(x)=-\frac{1}{(1-x)^{1/2}(1+x)^{3/2}}.

Passo 6

Fazer uma simplificação alternativa e comentar domínio de diferenciabilidade.
  • Observação útil: (1-x)^{1/2}(1+x)^{3/2}=(1+x)\sqrt{(1-x)(1+x)}=(1+x)\sqrt{1-x^2}.
    Assim outra forma conveniente para a derivada é
f'(x)=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}.
  • Sobre o domínio onde essa derivada é válida: a função original está definida para -1<x\le 1 (porque \dfrac{1-x}{1+x}\ge0 e 1+x\neq0). A derivada encontrada tem denominação que se anula em x=\pm1, portanto a função é diferenciável no intervalo aberto (-1,1). Em x=1 o comportamento é singular (a derivada tende a -\infty), e em x=-1 a função nem está definida. Conclusão: f é diferenciável em (-1,1) e a expressão acima vale para todo x\in(-1,1).

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(1-x)^{1/2}(1+x)^{3/2}}=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^{2}}},\qquad x\in(-1,1)

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