Encontrar a derivada das funções dadas.
f(t)=\left(\frac{a}{b}\right)^{-\sqrt{t}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{-\sqrt{t}},
onde a e b são constantes positivas (para a expressão fazer sentido em expoente real). Vamos usar a propriedade de reescrever qualquer base positiva na forma de exponencial com e e, então, aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Reescrevemos
f(t)=\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{-\sqrt{t}}
como
f(t)=\exp\Bigl(\ln\bigl((a/b)^{-\sqrt{t}}\bigr)\Bigr) =\exp\bigl(-\sqrt{t}\,\ln(a/b)\bigr).

Passo 3

Definimos
g(t)=-\sqrt{t}\,\ln(a/b),
de modo que
f(t)=e^{g(t)}.
Pela regra da cadeia,
f'(t)=g'(t)\,e^{g(t)}.

Passo 4

Calculamos g'(t). Como \ln(a/b) é constante,
g(t)=-\ln(a/b)\;\sqrt{t} =-\ln(a/b)\;t^{1/2}.
Derivando em relação a t:
g'(t)=-\ln(a/b)\,\frac{1}{2}t^{-1/2} =-\frac{\ln(a/b)}{2\sqrt{t}}.

Passo 5

Substituindo em f'(t)=g'(t)\,e^{g(t)}, obtemos
f'(t) =-\frac{\ln(a/b)}{2\sqrt{t}} \;e^{-\sqrt{t}\,\ln(a/b)}.
Por fim, voltamos à base original (a/b)^{-\sqrt{t}}:
f'(t) =-\frac{\ln(a/b)}{2\sqrt{t}} \;\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{-\sqrt{t}}.

Resposta

\boxed{f'(t) =-\frac{\ln(a/b)}{2\sqrt{t}} \;\Bigl(\tfrac{a}{b}\Bigr)^{-\sqrt{t}}.}

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