Encontrar a derivada das funções dadas.
f(t)=\ln \left(\cos ^{2} t\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=\ln\bigl(\cos^2 t\bigr).
O conteúdo envolve: propriedade de logaritmo e regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade de logaritmo para simplificar a função:
\ln\bigl(\cos^2 t\bigr)=2\,\ln\bigl|\cos t\bigr|.
Isso torna mais claro o uso da regra da cadeia.

Passo 3

Aplicamos a derivada de \ln(u), que é u'/u, com u=\cos t:
\frac{d}{dt}\bigl[2\ln\bigl|\cos t\bigr|\bigr] =2\;\frac{1}{\cos t}\,\frac{d}{dt}(\cos t) =2\;\frac{1}{\cos t}\;(-\sin t) =-2\,\frac{\sin t}{\cos t}.

Resposta

f'(t)=-2\tan t.

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