Um escoamento de água dentro de um tubo horizontal de 10 mm de diâmetro chega a um " T " e se divide em dois, um para cima e outro para baixo. No ramo que sobe, a vazão é o dobro da do ramo que desce e a vazão total é de 30 \mathrm{l} / \mathrm{min}. Faça um esboço do problema com o sistema de coordenadas a ser usado e calcule a força que o fluido faz sobre o “T”. A pressão na entrada do “T” é de 50 kPa (man) e as pressões nas duas saidas são iguais. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve água incompressível escoando em um tubo horizontal de diâmetro \,10\rm \,mm que chega a uma junção em “T” e se divide em dois ramos (um para cima e outro para baixo). A vazão total é de 30\rm \,L/min, sendo que a vazão do ramo ascendente é o dobro da do ramo descendente. A pressão na entrada é de 50\rm \,kPa (manométrica) e nas duas saídas as pressões são iguais (assumimos 0\rm \,kPa g).
Conteúdo: balanço de quantidade de movimento. Vamos precisar do diagrama de corpo livre, das vazões nos ramos, das velocidades, das vazões mássicas e aplicar
\sum \mathbf F_{\rm ext} =\sum \dot m\,\mathbf V_{\rm out} -\dot m\,\mathbf V_{\rm in}.

Passo 2

Esboço do problema e sistema de coordenadas:
Defina o eixo x horizontal, positivo para a direita, e o eixo y vertical, positivo para cima. A água entra pelo ramo esquerdo (inlet), desvia-se para a saída superior (ramo 1) e para a inferior (ramo 2):
\begin{array}{c} \quad\;y\\\ \quad\uparrow\\\ \text{ramo 1 (up)}\quad\bullet\;T\;\bullet\text{inlet}\;\longleftarrow x>0\\\ \quad\downarrow\\\ \text{ramo 2 (down)} \end{array}

Passo 3

Calcular as vazões volumétricas de cada ramo:
Total
Q_{\rm tot}=\frac{30\times10^{-3}}{60}=5,0\times10^{-4}\,\rm m^3/s.
Ramo 1 (ascendente, o dobro):
Q_1=\frac{2}{3}\,Q_{\rm tot}=3{,}33\times10^{-4}\,\rm m^3/s,
Ramo 2 (descendente):
Q_2=\frac{1}{3}\,Q_{\rm tot}=1{,}67\times10^{-4}\,\rm m^3/s.

Passo 4

Área do tubo (mesmo diâmetro em todas as seções):
A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi\,(10^{-2})^2}{4} =7{,}85\times10^{-5}\,\rm m^2.
Velocidades médias:
V_{\rm in}=\frac{Q_{\rm tot}}{A}=6{,}37\,\rm m/s,\quad V_{1}=\frac{Q_{1}}{A}=4{,}25\,\rm m/s,\quad V_{2}=\frac{Q_{2}}{A}=2{,}12\,\rm m/s.

Passo 5

Vazões mássicas ( \rho=1000\rm\,kg/m^3):
\dot m_{\rm in}=\rho\,Q_{\rm tot}=0{,}50\,\rm kg/s, \quad \dot m_1=0{,}333\,\rm kg/s, \quad \dot m_2=0{,}167\,\rm kg/s.
Fluxos de momento:
\sum\dot m\,\mathbf V_{\rm out} =\dot m_1(0,\,V_1)+\dot m_2(0,\,-V_2) =(0,\;0{,}333\times4{,}25-0{,}167\times2{,}12) =(0,\;1{,}06)\,\rm N,
\dot m_{\rm in}\,\mathbf V_{\rm in} =(0{,}50\times6{,}37,\,0)=(3{,}18,\,0)\,\rm N.
Portanto
\sum\dot m\,\mathbf V_{\rm out} -\dot m\,\mathbf V_{\rm in} =(-3{,}18,\;1{,}06)\,\rm N.

Passo 6

Forças de pressão sobre o volume de controle: na entrada
\mathbf F_{p,\rm in} =\int p\,\mathbf n\,dA =p_{\rm in}\,A\,(-\mathbf i) =50\times10^{3}\times7{,}85\times10^{-5}\,(-1,0) =(-3{,}93,\,0)\,\rm N.
Saídas: p=0, logo sem força de pressão.

Passo 7

Balanço de quantidade de movimento vetorial:
\sum \mathbf F_{\rm ext} =\sum\dot m\,\mathbf V_{\rm out} -\dot m\,\mathbf V_{\rm in}.
Mas \sum\mathbf F_{\rm ext}=\mathbf F_{p}+\mathbf F_T, onde \mathbf F_T é a força que a peça “T” exerce sobre o fluido.
Logo
\mathbf F_T = \bigl(-3{,}18,\;1{,}06\bigr) - (-3{,}93,\,0) =(0{,}75,\;1{,}06)\,\rm N.

Passo 8

A força que o fluido exerce sobre a peça “T” é o oposto de \mathbf F_T:
\mathbf F_{\rm fluido\to T} =-\mathbf F_T =(-0{,}75,\,-1{,}06)\,\rm N.

Passo 9

Módulo e direção:
\|\mathbf F\| =\sqrt{0{,}75^2+1{,}06^2} =1{,}29\,\rm N, \quad \theta=\arctan\!\Bigl(\frac{1{,}06}{0{,}75}\Bigr)=55{,}3^\circ
em relação ao eixo x, apontando para a esquerda e para baixo.

Resposta

\mathbf F_{\rm fluido\to T}=(-0{,}75\,\mathbf i\;-\;1{,}06\,\mathbf j)\,\rm N,
módulo 1{,}29\rm \,N com direção 55{,}3^\circ abaixo do eixo negativo x.

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