Encontre o raio e intervalo de convergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{k}}{k 4^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{k}}{k\,4^{k}}.
O conteúdo principal é séries de potências e usaremos o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Seja a_k=\frac{(x-2)^{k}}{k\,4^{k}}. Aplicando o teste da razão, calculamos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty}\left|\frac{(x-2)^{k+1}}{(k+1)4^{k+1}}\cdot\frac{k\,4^{k}}{(x-2)^{k}}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{|x-2|}{4}\cdot\frac{k}{k+1} =\frac{|x-2|}{4}.
A série converge se L<1, isto é, se
\frac{|x-2|}{4}<1\quad\Longrightarrow\quad |x-2|<4.
Logo, o raio de convergência é
R=4.

Passo 3

O intervalo aberto de convergência é
2-R<x<2+R \quad\Longrightarrow\quad -2<x<6.
Precisamos agora testar os extremos x=-2 e x=6.

Passo 4

Para x=6, a série vira
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(6-2)^{k}}{k\,4^{k}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^{k}}{k\,4^{k}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k},
que é a série harmônica e diverge. Portanto não incluímos x=6.

Passo 5

Para x=-2, a série fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-2-2)^{k}}{k\,4^{k}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-4)^{k}}{k\,4^{k}} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k},
que é a série harmônica alternada e converge condicionalmente pelo critério de Leibniz. Portanto incluímos x=-2.

Resposta

O raio de convergência é R=4 e o intervalo de convergência é [-2,6).

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