Encontrar as derivadas pedidas abaixo: f(x, y) = x * y^2 - 5 * y + 6 ; f_x e fy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para isso, vamos calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x, ou seja, fx. Quando fazemos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Então, aqui, y é tratado como uma constante.

Passo 3

Para encontrar fx, derivamos cada termo da função em relação a x:
  • A derivada de x y^2 em relação a x é y^2, porque y^2 é tratado como uma constante multiplicando x.
  • A derivada de em relação a x é 0, já que não tem x na expressão.
  • A derivada de em relação a x também é 0, pois é uma constante.

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial em relação a y, ou seja, fy. Aqui, tratamos x como uma constante.

Passo 6

Para encontrar fy, derivamos cada termo da função em relação a y:
  • A derivada de x y^2 em relação a y é , aplicando a regra da potência.
  • A derivada de em relação a y é , já que a derivada de y é 1.
  • A derivada de em relação a y é 0, pois é uma constante.

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:

Resposta

As derivadas parciais são:

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