Encontrar as derivadas pedidas abaixo: u(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2), uz

Passo 1

Então, temos a função e precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem raízes quadradas e aplicar as regras de derivação básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que é o mesmo que . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos tratar e como constantes e derivar apenas em relação a .

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a . A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
Aqui, derivamos o expoente e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 6

Simplificamos a expressão multiplicando os termos:
Os 2’s no numerador e denominador se cancelam.

Passo 7

Finalmente, temos:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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