Encontrar as derivadas pedidas abaixo: f(x, y) = e^(xy) + sen(x) ; f_x e fy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. Vamos precisar lembrar das regras de derivação para funções de várias variáveis e como aplicar derivação em funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é .
  1. Derivada da primeira parte em relação a :
    • Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, a derivada é .
  2. Derivada da segunda parte em relação a :
    • A derivada de é .
Então, juntando as duas partes:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Aqui, tratamos como uma constante.
A função é .
  1. Derivada da primeira parte em relação a :
    • Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, a derivada é .
  2. Derivada da segunda parte em relação a :
    • Como não depende de , a derivada é 0.
Então, juntando as duas partes:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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