Esboçar o gráfico das seguintes funções:
§ y=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função y=\ln\!\big(x^{2}+1\big).
Informações explícitas que temos:
  • A expressão da função: y=\ln\!\big(x^{2}+1\big).
  • Não há mais dados numéricos ou figura fornecida.
    O objetivo final é obter um desenho (esboço) com os sinais, pontos importantes, comportamento para grandes |x|, concavidade e possíveis pontos de máximo/mínimo ou de inflexão.

Passo 2

Domínio e imagem (range).
  • Para a função logaritmo natural é preciso que o argumento seja positivo. Aqui o argumento é x^{2}+1. Como x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se x^{2}+1\ge 1>0 para todo x. Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
  • O menor valor de x^{2}+1 ocorre em x=0 e vale 1. Logo o menor valor de y é \ln 1=0. Como x^{2}+1 cresce sem limite quando |x|\to\infty, y cresce sem limite superior. Portanto a imagem é
\text{Imagem}=[0,\infty).

Passo 3

Simetria e interceptos com os eixos.
  • Simetria: calcule f(-x).
f(-x)=\ln\!\big((-x)^{2}+1\big)=\ln\!\big(x^{2}+1\big)=f(x).
Logo a função é par (simétrica em relação ao eixo y). Isso significa que basta analisar x\ge 0 e espelhar para x<0.
  • Intercepto com o eixo y: em x=0, y=\ln 1=0. Então a curva passa por (0,0).
  • Intercepto com o eixo x: procurar y=0. Temos \ln\!\big(x^{2}+1\big)=0\Rightarrow x^{2}+1=1\Rightarrow x=0. Então o único intercepto com o eixo x é (0,0).

Passo 4

Derivada primeira — monotonicidade e pontos críticos. Vou diferenciar passo a passo usando a regra da cadeia e a derivada de \ln. Se y=\ln(u(x)), então y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=x^{2}+1 e u'(x)=2x. Logo
y'=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Análise do sinal de y':
  • Para x<0: 2x<0 e x^{2}+1>0 então y'<0 (função decrescente).
  • Para x=0: y'=0.
  • Para x>0: y'>0 (função crescente).
    Portanto x=0 é um ponto crítico e, por troca de decrescente para crescente, é um mínimo local. Como a imagem mínima é 0, é mínimo global em (0,0).
Exemplos de declividade em pontos concretos (ajuda no esboço):
y'(1)=\frac{2\cdot1}{1+1}=1,\qquad y'(2)=\frac{4}{5}=0{,}8,\qquad y'(-1)=-1.
Ou seja, tangente com inclinação 1 em x=1, declive positivo menor para x maior.

Passo 5

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão. Vou derivar y'=\dfrac{2x}{x^{2}+1} usando a regra do quociente ou produto. Usando quociente:
y''=\frac{(2)(x^{2}+1)-2x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.
Análise do sinal de y'':
  • y''>0 quando 1-x^{2}>0, ou seja para |x|<1: concavidade para cima (côncava para cima) no intervalo (-1,1).
  • y''=0 quando |x|=1: possíveis pontos de inflexão.
  • y''<0 quando |x|>1: concavidade para baixo (côncava para baixo) em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Avaliar a função nesses pontos:
y(\pm1)=\ln(1^{2}+1)=\ln 2\approx 0{,}6931.
Portanto há pontos de inflexão em \big(-1,\ln 2\big) e \big(1,\ln 2\big), onde a concavidade muda.

Passo 6

Comportamento para grandes |x| e comportamento próximo de 0.
  • Para |x|\to\infty:
y=\ln\!\big(x^{2}+1\big)=\ln\!\big(x^{2}\big)+\ln\!\Big(1+\frac{1}{x^{2}}\Big)=2\ln|x|+\underbrace{\ln\!\Big(1+\frac{1}{x^{2}}\Big)}_{\to 0}.
Logo para grandes |x| a função cresce como 2\ln|x| (cresce sem limite, mas lentamente). Não há assíntota linear nem horizontal — a função tende a +\infty quando x\to\pm\infty. A inclinação tende a zero:
y'=\frac{2x}{x^{2}+1}\sim\frac{2}{x}\to 0\quad\text{quando }|x|\to\infty,
o que corresponde ao gráfico subindo cada vez mais lentamente.
  • Para x próximo de 0 pode-se usar expansão em série (ou aproximação): para pequeno x,
\ln(1+x^{2})\approx x^{2},
isto é, a função se parece com a parábola y=x^{2} muito perto de 0. Isso explica o mínimo quadrático em 0 e a concavidade para cima no entorno.

Passo 7

Resumo dos pontos e instrumentos para desenhar o esboço (o que riscar no papel). Marcar no eixo:
  • Ponto mínimo: (0,0).
  • Pontos de inflexão: \big(-1,\ln 2\big) e \big(1,\ln 2\big) com \ln 2\approx 0{,}693.
  • Alguns pontos adicionais para orientar a escala: (2,\ln 5) com \ln 5\approx 1{,}609 e (3,\ln 10) com \ln 10\approx 2{,}303.
    Traço do esboço:
  • Desenhar curva par (simétrica em y).
  • Para x<0 a curva desce até (0,0); para x>0 sobe a partir de (0,0).
  • Concavidade: côncava para cima até |x|=1, depois muda para côncava para baixo.
  • A curva tende a +\infty em ambas as extremidades, subindo lentamente e com inclinação aproximando-se de zero.

Passo 8

Dicas práticas para o esboço na prova (sem calculadora):
  • Trace os eixos e marque y=0 no eixo vertical; coloque (0,0).
  • Marque y=\ln 2 um pouco abaixo de 1 (use 0{,}7 como aproximação). Coloque pontos em x=\pm1.
  • Marque um ponto em x=\pm2 com y\approx 1{,}6 para ver que a curva já subiu mais.
  • Desenhe um “U” suave em torno de x=0 (mínimo) que começa côncavo para cima, inflete em \pm1 e segue subindo mais suavemente para as extremidades.
  • Não desenhe uma linha reta assintótica; a curva sobe indefinidamente (sem assíntota horizontal), ficando cada vez mais plana.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Simetria: função par ( f(-x)=f(x))
Ponto crítico e mínimo global: (0,0)
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty)
Pontos de inflexão: \big(-1,\ln 2\big) e \big(1,\ln 2\big)
Concavidade: côncava para cima em (-1,1); côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty)
Comportamento em infinito: \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\ln\!\big(x^{2}+1\big)=+\infty (cresce como 2\ln|x|, sem assíntotas).

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